© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Stelsels vergelijkingen (2)
       
In de vorige les hebben we een manier besproken om stelsels vergelijkingen op te lossen. Dat was door lineaire combinaties: de vergelijkingen zodanig te vermenigvuldigen en dan bij elkaar op te tellen of van elkaar af te trekken dat er een variabele wegviel.
Deze les bekijken we een tweede methode:  substitutie.
       
Methode 2:  Substitutie
       
Deze methode is met één receptje samen te vatten:
       

stap 1:  Maak van één van beide vergelijkingen  letter = .....
stap 2:  Vul dat in in de andere vergelijking
       
Een voorbeeld zal veel verduidelijken:
 
Voorbeeld.

Neem het stelsel van de vorige les:


Oplossing:
stap 1:  maak bijv. van de eerste vergelijking  x = .....

2x + 4y = 20 
⇒  2x = 20 - 4y 
⇒  x = 10 - 2y

stap 2: vervang in de tweede vergelijking x door  10 - 2y:

3(10 - 2y) - 2y = 14 
⇒  30 - 6y - 2y = 14 
⇒ 30 - 8y = 14 
⇒  -8y = -16  ⇒ 
y =  2

Dat geeft  x = 10 - 2y = 10 - 2 • 2 = 6
De oplossing is dus  x = 6  en  y = 2

 
Voordeel van substitutie.
       
Substitutie lijkt op het eerste gezicht helemaal niet handiger dan de lineaire combinaties van de vorige les. Je krijgt bijvoorbeeld veel eerder met breuken en met grotere vergelijkingen met af en toe veel haakjes te maken.

Toch heeft substitutie één groot voordeel...

Substitutie werkt soms ook als je niet eenvoudig een x of een y kunt laten wegvallen. Dat lukt vooral niet als er andere machten van x of y in de vergelijkingen staan, of wortels, of breuken,  nou ja, noem maar op......
 
Voorbeeld:     Los op:    x2 + 2y2 = 22   en   3x - y = 3

Oplossing:
Zet ze eerst maar eens onder elkaar:


Dat gaat niet lukken!
Probeer het zelf maar: je kunt het nooit voor elkaar krijgen dat overal x of y weg gaat vallen.

Maar met substitutie kan het wel!
Kijk maar:
Maak van de tweede vergelijking  y =  
3x - y = 3
y = 3x - 3

en nu invullen in de eerste vergelijking:
x2 + 2(3x - 3)2 = 22

In het volgende hoofdstuk zullen we kijken hoe je zulke vergelijkingen (soms) algebraïsch kunt oplossen.
Voor nu is het voldoende dat we één letter in de vergelijking hebben gekregen.
Dat kun je immers met je GR oplossen:
Y1 = X^2 + 2(3X - 3)^2
Y2 = 22
intersect geeft x = 2  ∨  x = -0,105
Dat geeft dan daarna  y = 3  ∨  y = -3,316
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Los op door substitutie:
       
  a. 4x + y = 10  en  3x + 2y = 0
       
  b. 2x - 5y = 4  en  6x - 10y = 2
       
  c. 3x + 5y = 12  en   6y - 2x = 8
       
  d. x + 4 =  3y - x  en   5x = 2y + 3
       
  e. -2x - 4y = 9  en  3y = x - 4  
       
  f. 2x = 7 - 3y  en  7 - 5x = 4y
       
2. Los op:
       
  a. 3x2  = 2y2  + 6x -  8  en   2x + 8y = 28
       
  b. 2y  - 2 =  8x   en   x3  + 2 =  2x2 + √y
       
  c. y/(x - 5)  = 2x + y   en    y/x  = 0,5x
       
3. Ik heb 40 muntstukken in mijn portemonnee. Het zijn munten van 20 cent en munten van 1 euro. Het totale bedrag dat deze munten waard zijn is 25,60 euro.
Hoeveel 1-euro munten heb ik?
       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)