© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Stijgen en Dalen
   
Wat stijgen of dalen van een grafiek betekent dat weet natuurlijk iedereen wel. We komen de termen stijgen en dalen erg vaak in het dagelijkse leven tegen. Neem de volgende verzameling krantenkoppen:
   

   
Al deze koppen gaan over stijgen of dalen van iets. En toch is er eentje iets anders dan de anderen. En dan bedoel ik niet die ene die rood is, ik bedoel wiskundig inhoudelijk anders.

Zie je welke?......

Het is de kop:  "Afname ijsmassa versnelt"
Zie je waarom die anders is????

De kop zegt niet alleen dat de ijsmassa afneemt (dus daalt)  maar ook nog eens dat die afname toeneemt (versnelt)!!!
Het zegt dus iets over de verandering van de verandering.

STIJGENDE DALING?
   
Jazeker!  Ook de daling zélf kan natuurlijk toenemen (sterker worden) of afnemen (minder sterk worden). En ook de Stijging. Iets dat daalt  of stijgt kan nou eenmaal harder of minder hard gaan dalen/stijgen toch?
Als je ook op verandering van de verandering let zijn er wat dat betreft vier mogelijkheden:
   

   
We nemen aan dat op de x-as steeds de tijd staat en dat die naar rechts toe toeneemt.
   
Veranderingen.
Om stijgen en dalen te onderzoeken kijk je niet hoe groot een y bij een bepaalde x  is, maar hoe snel de y verandert als x verandert.

Neem een willekeurige grafiek, zoals die hiernaast.
Begin bij x = 0 en neem nu steeds stapjes van 1 opzij. Houd elke keer bij hoeveel de y is toegenomen vanaf de vorige.
Die toename van y heet Δy en is in de figuur hiernaast met de rode lijnstukjes aangegeven.

Omdat we niet geďnteresseerd zijn in de hoogte van de grafiek, maar alleen in de toename (dus het hoogteverschil), laten we al die rode lijnstukjes naar beneden vallen en tekenen we ze op gelijk hoogte vanaf de x-as.
Dat is hieronder gebeurd.  Let erop dat in die laatste grafiek nu op de y-as niet y staat maar Δy.  Deze laatste grafiek geeft dus aan hoeveel de oorspronkelijke toeneemt (negatief als hij afneemt). Zo'n grafiek heet daarom een toenamendiagram.

Die laatste stokjes geven dus aan hoeveel de functie is veranderd vanaf de vorige x. Omhoog betekent toegenomen, omlaag betekent afgenomen. De vraag die we hierboven hebben beantwoord is de volgende:
"Teken een toenamendiagram van f(x) op interval  [0,8] met stapgrootte 1"
Het interval geeft aan van welke x tot welke x je moet gaan, de stapgrootte geeft aan...nou ja, de stapjes Δx natuurlijk.

Berekening.

De lengte van de staafjes is natuurlijk te berekenen als je een formule voor f(x) hebt.
De grafiek hierboven heeft als functievoorschrift  f(x) = 1/2x3 - 6x2 +17x + 10
Voor het berekenen van een toenamendiagram maken we een tabel met x, y en Δy :
   
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 10 21,5 24 20,5 14 7,5 4 6,5 18
Δy - +11,5 +2,5 -3,5 -5,5 -6,5 -3,5 +2,5 +11,5

 
 

 
De laatste rij geeft de lengtes van de "stokjes". Je ziet dat dit nauwkeuriger is dan uit een grafiek aflezen (onze "tekening" hierboven klopt niet helemaal).
   
 
 
 OPGAVEN
1. a. Gegeven is de functie  f(x) = 3√(x + 4). 
Teken een toenamendiagram met stapgrootte 1 op interval [0, 8]
     
b. Gegeven is de functie f(x) =  12/(x + 4) . 
Teken een toenamendiagram met stapgrootte 2 op interval [0, 12]
     
c. Gegeven is de functie  f(x) = x2 + x + 2. 
Teken een toenamendiagram met stapgrootte 1 op interval [-4, 4]
Wat valt je op?
2. Hiernaast staat het toenamendiagram van een functie f met stapgrootte 1.

     
a. Teken het toenamendiagram dat bij deze functie hoort met stapgrootte 2.
     
b. Teken een mogelijk toenamendiagram dat bij deze functie hoort met stapgrootte 0,5.
3. Gegeven is de functie 

Onderzoek met een toenamendiagram voor welke waarden van t de grafiek van deze functie toenemend stijgend is.
Neem interval [0, 30] en stapgrootte 2.
4. Gegeven is de functie   f(x) =  x3 - 22x2 + 140x - 150
Onderzoek met een toenamendiagram de soorten stijging en daling van de grafiek van f.
Beperk je voor x-waarden  tussen 0 en 15.
   
5. examenvraagstuk  HAVO wiskunde A, 1989
     
  In een viskwekerij wordt vis uitgezet in een aantal nieuw aangelegde kweekvijvers. Als er geen vis wordt gevangen zal de visstand zich in de loop der jaren uitbreiden. Onderstaande grafiek geeft een model van de groei van de visstand.
     
 

     
  a. Teken het toenamendiagram voor intervallen van een jaar, te beginnen met het interval 1-2.
     
  De viskweker zal een aantal jaren wachten alvorens te 'oogsten'. Daarna wil hij jaarlijks dezelfde hoeveelheid vis vangen, liefst zo veel mogelijk. Het oogsten vindt steeds plaats aan het eind van het jaar. Na elke vangst breidt de visstand zich weer uit volgens bovenstaande grafiek.
     
  b. Welk advies zou je de viskweker geven over:
• het aantal jaren dat hij na het uitzetten van de vis moet wachten.
• de grootte van de jaarlijkse vangst?
Geef bij dit advies een toelichting waarmee je de viskweker denkt te overtuigen.
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)