© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Meer recursievergelijkingen  
   
Deze les bekijken we twee uitbreidingen op de recusrsievergelijkingen
 
Uitbreiding 1:  Er staat ook n in de recursieformule.
 
De volgende rij heet de rij van driehoeksgetallen:  1 - 3 - 6 - 10 - 15 - 21 -  ...
Het volgende plaatje maakt duidelijk waarom dat zo is:
 

 
De regelmaat zie je direct als je naar de verschillende tussen de opeenvolgende getallen uit de rij kijkt. Die worden steeds eentje groter. Om bijvoorbeeld u2 te krijgen tel je 2 op bij  u1. Om u3  te krijgen tel je 3 op bij u2. Dus om un te krijgen tel je n op bij un - 1. Dat geeft de volgende recursieformule:
 
un = un - 1 + n
 

Zoals je staat er nu behalve een un - 1 ook een n in de formule. Dat kan.

 
Uitbreiding 2:  un  hangt af van meerdere voorgangers.
 
De volgende rij is een hele beroemde:
 
1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 -........
 

Het is de rij van Fibonacci. Je krijgt een getal uit deze rij door de twee vorigen bij elkaar op te tellen, dus:

 

un = un - 1 + un - 2
 

Gevolg is wel, dat je nu het eerste én het tweede getal moet weten om "op gang te komen" met de rij.
In dit geval is  u1 = u2 = 1.
 
 
 
OPGAVEN
         
1. Als je van de functie f(x) = x2 + 4x een tabel met functiewaarden maakt krijg je zoiets:
         
 
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 5 12 21 32 45 60 77
         
  Als je x ziet als n en f(x) als un dan kun je een recursievergelijking opstellen. Dat lukt omdat er regelmaat in de verschillen tussen de f(x) waarden zit.
Stel zo'n recursievergelijking op.
   
2. In een rij getallen is elk getal gelijk aan de lengte van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek waarvan de vorige twee getallen de rechthoekszijden zijn.
De rij begint met   u1 = u2 = 1
Geef een recursievergelijking. en bereken  u5
   
3. Rechthoeksgetallen krijg je door rechthoeken te tekenen die net geen vierkanten zijn. Kijk maar naar de volgende serie:
   
 

   
  De getallen boven de rechthoeken geven het aantal strippen aan.
Noem het aantal stippen van de eerste rechthoek u1.
Geef een recursieformule voor het aantal stippen van de nde rechthoek.
Bedenk daarbij dat de verschillen van de rij un regelmaat vertonen.
   
4. De volgende rij getallen is gebaseerd op een lineaire recursievergelijking van de  vorm   un = aun - 1 + bun - 2

1 - 2 - 6 - 10 - 38 - 42 - 262  ...

Bereken a en b
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)