Pythagoras strikes again!!

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
De stelling van Pythagoras is natuurlijk nog wel uit de onderbouw bekend. (zo niet, dan moet je eerst dit doornemen)
In deze les zullen we wat interessantere  (lees: "moeilijkere") toepassingen van deze stelling bekijken.
   
1.  Onbekenden .
   
Soms ken je niet eens twee zijden van een rechthoekige driehoek, maar kun je toch Pythagoras toepassen als je één of ander extra gegeven weet te vinden. Dat klinkt waarschijnlijk nogal vaag, maar de volgende voorbeelden zullen wel duidelijk zijn. Het gaat er steeds om dat je iets eerst "x" noemt, en dan de lengte van de onbekende zijden met de letter x gaat opschrijven.
   
Voorbeeld 1.

Je geo-driehoek is symmetrisch en heeft een schuine zijde van 15 cm. Bereken met Pythagoras de lengte van de andere twee zijden.

Die andere zijden zijn even lang. Stel dat ze beiden lengte x hebben.
Dan geldt  x2 + x2 = 152 
2x2 = 225  ⇒  x2 = 112,5  ⇒  x = √112,5 ≈ 10,6

   
Voorbeeld 2.

Een  Mercedes begint vanaf een bepaal punt naar het oosten te rijden.
Tegelijkertijd begint een BMW vanaf hetzelfde punt naar het noorden te rijden.
De BMW rijdt 15 km/uur sneller dan de Mercedes.
Na 1 uur zijn de auto's precies 100 km van elkaar verwijderd. Hoe snel rijdt de Mercedes?

Stel dat de Mercedes x km/uur rijdt, dan rijdt de  BMW  (x + 15)  km/uur.
Pythagoras na een uur geeft dan   x2 + (x + 15)2 = 1002
dus  x2 + x2 + 30x + 225 = 10000 ⇒ 2x2 + 30x - 9775 = 0
De ABC formule geeft dan x ≈ 62,8 km/uur

   
2. Pythagoras bij cirkels.  
   
WÁÁÁÁÁT?
Bij Cirkels???
Dat zijn toch die ronde dingen???
Daar is geen rechte hoek aan te bekennen!!!!
Zal wel een vergissing zijn......

Maar toch is dat niet zo. Bij cirkels zijn juist opvallend véél rechte hoeken te vinden. Als je maar goed zoekt!
Dat zit hem in de drie plaatjes hieronder.  
   
Plaatje 1.

In dit plaatje zie je een lijn getekend die "tegen een cirkel aanligt".  Zo'n lijn heet een raaklijn.
Nou is het zo dat de raaklijn in punt P van de cirkel altijd een rechte hoek maakt met de lijn vanaf P naar het middelpunt.

   
Plaatje 2.

Als je een driehoek maakt met een middellijn van de cirkel en verder een willekeurig punt P op de cirkel, dan is de hoek bij dat punt P altijd 90º.
Dit is de beroemde "Stelling van Thales".
Denk er goed om dat het alleen geldt voor een middellijn van de cirkel!!!

.

   
Plaatje 3.

Als je twee willekeurige punten P en Q op een cirkel kiest, dan zijn de afstanden MQ en MQ gelijk (namelijk beiden de straal van de cirkel). Dat betekent dat driehoek MPQ gelijkbenig is, dus een lijn van M naar het midden van PQ staat loodrecht op PQ. Dat geeft twee rechthoekige driehoeken en dus Pythagoras.

   
Deze drie eigenschappen maken het mogelijk bij cirkels heel vaak driehoeken te tekenen met een rechte hoek, en daar dan Pythagoras op los te laten. Kijk maar:
   
Voorbeeld 3.

Twee cirkels hebben hetzelfde middelpunt en de afstand tussen beide cirkels is 1 cm. Een lijn tussen de punten P en Q van de buitenste cirkel raakt de binnenste.
Bereken de straal van de cirkels.

De lijn MR van M naar het raakpunt staat loodrecht op PQ immers het is de hoogtelijn van de gelijkbenige driehoek MPQ.
Omdat RQ = 0,5PQ = 3 kun je Pythagoras in MRQ toepassen.
Als MR = x dan is  MQ = x + 1.
x2 + 32 = (x + 1)2  geeft  x2 + 9 = x2 + 2x + 1  dus  x = 4.
De cirkels hebben dus straal 4 en 5.

   
Voorbeeld 4.  
Cirkels hebben verder de prettige eigenschap dat alle lijnen van het middelpunt loodrecht naar de omtrek even lang zijn; namelijk gelijk aan de straal van de cirkel.
   
Stel dat je de straal van de middelste cirkel hiernaast wilt berekenen.

Dan zou ik meteen allemaal lijnen vanaf de middelpunten van die cirkels gaan tekenen.

   
Dat is hiernaast gebeurd
Als je de straal van de middelste cirkel nu r noemt dan zie je hiernaast een rechthoekig driehoekje waarin uiteraard Pythagoras moet gelden:
362 + r2 = (24 + r)2
1296 + r2 = 576 + 48r + r2
48r = 720
r = 720/48 = 15
   
 
  OPGAVEN
 
1. De verhoudingen van de lengtes van de zijden van een A4-papier zijn 1 : √2

Bereken de oppervlakte als de diameter gelijk is aan 363,74 mm

 

     
2. Een cirkelvormige klok met straal 12 cm  heeft een grote wijzer van 12 cm lang.
Iemand tekent (een paar minuten voor 8 uur) de verticale lijn door het uiteinde van de kleine wijzer voor zover die op het oppervlak van de klok valt.
De kleine wijzer verdeelt die lijn in stukken van 4 en 13 cm.
Zie de figuur hiernaast.

Bereken de lengte van de kleine wijzer.

     
3. Toen het meer dichtvroor dreef er een bal op het water. 
Men haalde later de bal uit het ijs (zonder het ijs te breken). 
De opening die in het ijs bleef had een doorsnede van 24 cm bovenaan en was 8 cm diep. 
Vind de straal van deze bal (in cm).

       
4. Een vierkant ligt boven op een gelijkbenige driehoek met twee zijden 10,

Om deze twee figuren past precies een cirkel waarvan het middelpunt de top van de driehoek is. Die cirkel raakt twee hoekpunten van het vierkant en van de driehoek.

Bereken de oppervlakte van het vierkant.
       
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)