Variabelen verminderen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Als je een functie hebt van meerdere variabelen, dan kun je dat aantal variabelen soms verminderen. Dat kan door op zoek te gaan naar een extra verband tussen die variabelen.

Het werkschema daarvoor ziet er uit als hiernaast.

Het moeilijkste zal vaak zijn dat "extra verband" te zoeken. Daarna is het nog maar slechts een zaak van wat algebra. Dat zal wel lukken.

 

Voorbeeld.
De zakking van een houten balk die aan beide uiteinden is ondersteund,  is de afstand waarover hij in het midden doorzakt als er daar een gewicht wordt gezet.
Voor die zakking (Z) geldt de formule:  Z = (G • l ³)/(48 • E • I)

Daarin is:
E = elasticiteitsmodulus: een getal dat van het materiaal afhangt.
G = het gewicht waarmee de balk in het midden wordt belast (in kg).
I = traagheidsmoment; hangt af van de vorm en afmetingen van de doorsnede.
l = de lengte van de balk (in m).

 
Wauw!  Een formule met maar liefst 4 variabelen.  
 

Een houtzager heeft een stam van een eik die een cirkelvormige doorsnede met diameter 20 heeft, en een lengte van 3 meter. Hij gaat er een balk van maken door er stukken van af te zagen. In de doorsnede hiernaast zie je dat die lichte stukken worden weggezaagd zodat een balk met doorsnede b ´ h overblijft.

Hij vraagt zich af hoe hij b en h moet kiezen zodat de balk zo min mogelijk doorzakt bij belasting.
 
In een technisch zakboek vindt hij dat voor eikenhout geldt  E = 80. Verder weet hij dat  l = 3.
Door die in te vullen kan hij het aantal variabelen al terugbrengen tot twee:    
 
 

In dat technische zakboek staat ook een formule voor het traagheidsmoment van rechthoekige doorsneden:

 
 

Daarin zijn b en h de breedte en de hoogte van de doorsnede (beiden in cm)
Verder zien we al dat de doorzakking evenredig is met het gewicht G. Dus we kunnen net zo goed G = 1 kiezen, en daarvoor de minimale doorzakking zoeken. Bij andere G-waarden zal Z dan ook minimaal zijn.
G = 1 nemen en dan I invullen geeft de volgende formule:

 
 

Nog één variabele te gaan!!

Dus moeten we een verband tussen b en h vinden.
En dat extra verband is te zien in de figuur hiernaast. De stelling van Pythagoras levert  h2 + b2 = 400.
Dat is te schrijven als  b = √(400 - h2)

Meteen maar weer invullen in de Z- formule:

En ja hoor!!!
Eindelijk gelukt:  een formule met maar één variabele.
Snel invoeren in de GR bij Y=  en dan het minimum zoeken.
Dat geeft een minimum bij h = 17,32 cm van 1,6 • 10-6
h = 17,32  geeft dan  b = √(400 - h2) = 10,00 cm.

De balk met doorsnede 10,00 bij 17,32 zal per kg belasting dan in het midden 1,6•10-6 m = 0,0016 mm doorzakken.

   
Moet ik dit allemaal onthouden of zo?
   
Nee, gelukkig niet. Het gaat erom dat je de gevolgde methodes om variabelen te verminderen/veranderen snapt.
We hebben drie manieren gebruikt:
•  variabelen waarvan je weet hoe groot ze zijn direct invullen (zoals in het voorbeeld met l en E)
•  een variabele vervangen door een andere formule (zoals in het voorbeeld met I)
•  een extra verband tussen variabelen schrijven als  x = .... en daarmee x vervangen (zoals in het voorbeeld bij b).
   
   
  OPGAVEN
   
1. Een doos zonder deksel heeft afmetingen 2x bij x bij h en inhoud 400.
Voor de oppervlakte van de doos geldt dan  O = 2x2 + 1200/x

     
  a. Toon deze formule aan.
     
  b. Bepaal de minimale oppervlakte van zo'n doos.
   

268,88
 
2. De prijs (P) die je voor een taxirit moet betalen bestaat uit een basisbedrag B, een  bedrag per km en een bedrag per minuut. Die drie bedragen leveren samen de volgende formule op:  P = B + 0,18a + 0,35t
Daarin is a de afstand in km en t de tijd in minuten.
       
  a. Een bepaalde taximaatschappij vraagt voor een ritje van 12 minuten over een afstand van 8 kilometer een bedrag van €8,84.
Hoeveel zal een ritje van 8 minuten over 5 km bij deze maatschappij kosten?
     

€6,90
  Een andere maatschappij vraagt een basisbedrag van €4,50.
Als de gemiddelde snelheid van een rit 40 km/uur is, dan geldt voor de prijs de volgende formule:
P(t) = 4,50 + 0,47t.
       
  b. Toon aan dat die formule klopt. 
       
  c. Geef een formule voor P(a) bij deze maatschappij, weer bij een gemiddelde ritsnelheid van 40 km/uur.
       
3. Een boer gaat in zijn land een stuk omheinen. Hij wil met zijn omheining een rechthoekig stuk in drie kleinere rechthoeken verdelen. zoals hiernaast staat geschetst. In totaal heeft hij 240 meter gaas tot zijn beschikking. Als hij alle gaas gaat gebruiken geldt voor de totale oppervlakte van de drie stukken samen 
O =  120L - 2L2

     
  a. Toon deze formule aan
     
  b. Bereken de maximale oppervlakte die de boer kan omheinen.
   

1800 m2
 
       
4. Van 200 cm ijzerdraad maak ik de regelmatige vierzijdige piramide hiernaast.
Voor de inhoud daarvan geldt  I = 4/3 • x2 •√(2500 - 200x + 2x2)

     
  a. Toon deze formule aan.
     
  b. Bepaal de maximale inhoud van zo'n piramide.
   

3802
 
       
5. Een vliegtuigvleugel heeft een zodanige vorm dat de lucht aan de bovenkant sneller langs de vleugel stroomt dan de lucht aan de onderkant. Volgens de wet van Bernouilli heeft lucht die met een lagere snelheid stroomt een  hogere druk. Dat betekent dat de druk aan de onderkant van een vliegtuigvleugel groter is dan aan de bovenkant. Het resultaat is een kracht verticaal omhoog; de zogenaamde liftkracht FL.
De grootte van de liftkracht wordt gegeven door de formule:  FL = 0,5 • cL • ρ • v2 • A
Daarin is v de kruissnelheid (in m/s) , A het vleugeloppervlak (in m2), ρ de luchtdichtheid, en cL een constante.
De luchtdichtheid is 0,33 kg/m3  en voor de meeste vliegtuigen is  cL = 0,56.
FL moet, als het vliegtuig horizontaal blijft, gelijk zijn aan het gewicht van het vliegtuig vermenigvuldigd met de zwaartekrachtsversnelling g = 9,8.
       
  a. Een jumbojet van  320 ton heeft een vleugeloppervlak van 540 m2. Bereken de kruissnelheid.
     

250,7 m/s
  De bovenstaande formule is te schrijven als:   A = 106 • G/v²  
  Daarin is G het gewicht van het vliegtuig.

     
  b. Toon dat aan.
     
  De grafiek van A(v) staat hiernaast voor verschillende gewichten.
     
  c. Welk vliegtuiggewicht hoort er bij de onderste grafiek?
   

9 à 10 ton
  Tijdens een vlucht wordt een vliegtuig echter steeds lichter, omdat het brandstof verliest. Een jumbojet heeft in het begin vaak zo'n 90 ton aan brandstof
       
  d. Hoe volgt uit de figuur hiernaast dat dan de kruissnelheid groter zal worden?
       
6. Bij sporten als tennis en volleybal is de service erg belangrijk. We bekijken in deze opgave de service bij tennis. De speler staat bij het serveren 12 meter van het net, en het net is 1 meter hoog. We nemen aan dat de speler de bal raakt op een hoogte van 2,5 meter. (Ter vereenvoudiging gaan we ervan uit dat de speler de bal precies in de lengterichting van het veld slaat). Hieronder staat de situatie schematisch weergegeven.
       
 

       
  h is de hoogte van de bal boven de grond, a de horizontale afstand. Het verband tussen h en a hangt af van de snelheid v (in m/sec) waarmee de bal geslagen wordt en van de beginhelling.
Voor een beginhelling van  0,27 blijkt te gelden:
 

       
  a. Laat voor een paar waarden van v zien dat deze formule inderdaad beginhelling 0,27 oplevert. Geef een duidelijke uitleg van je werkwijze.
       
  Als een service geldig is moet hij aan twee voorwaarden voldoen:
    1e.  De bal moet over het net gaan.
2e.  De bal mag niet verder dan 7 meter voorbij het net de grond raken. 
       
  Als de snelheid te laag is, wordt niet aan voorwaarde 1 voldaan, maar als de snelheid te hoog is wordt niet aan voorwaarde 2 voldaan.
       
  b. Bereken algebraïsch tussen welke grenzen de snelheid moet liggen voor een geldige service.
     

11,6 en 15,9
  De grootste hoogte (H) die de bal onderweg bereikt hangt ook af van de snelheid.
Uit bovenstaande formule is af te leiden dat geldt  H = 0,0034v2 + 2,50
       
  c. Bereken algebraïsch bij welke snelheid de bal tot 4 meter hoog komt.
     

21 m/s
7. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2005 (gewijzigd)
       
  De biomechanicus R. McNeill Alexander heeft van een diersoorten de relatie tussen paslengte,  snelheid en grootte bepaald. Uit zijn onderzoek is een formule afgeleid die een goede schatting geeft voor de snelheid van deze dieren:

v = 2,81 • s1,67 • h-1,17

 Hierin is:
• v de snelheid in kilometer per uur
• s de paslengte in meter, de afstand tussen twee opeenvolgende voetafdrukken van dezelfde voet
• h de heuphoogte in meter
De formule geldt voor zowel twee- als viervoeters, zowel groot als klein, dus ook voor katten en honden.

 
  De buurman, die van het onderzoek gehoord had, werd nieuwsgierig en ging een middagje fietsen met zijn hond. Het beest bleef keurig naast hem rennen, bij elke snelheid die hij fietste.
Volgens de buurman had zijn hond een paslengte van ongeveer anderhalve meter, toen de snelheidsmeter 15 km/uur aangaf. De heuphoogte van zijn hond is 40 cm.
       
  a. Bereken de paslengte van de hond in cm nauwkeurig.
     

1,43 m
  Neem aan dat de formule van McNeill Alexander ook geldt voor dinosauriërs.
Een vuistregel voor dinosauriërs is:
de hoogte h van de heup is viermaal de lengte l van de voetafdruk, ofwel h = 4 • l, met h en l beide in meter.

Van een Brontosaurus zijn voetafdrukken gevonden met een lengte van 91 cm.
De bijbehorende paslengte is 3,5 meter.
       
  b. Bereken de snelheid van deze Brontosaurus toen hij deze voetafdrukken achterliet.
     

5,02 km/uur
  Uit de verbanden  v = 2,81 • s1,67 • h -1,17  en h = 4 • l  kan het volgende verband worden afgeleid:
v = c • s1,67 • l -1,17
 Hierin is c een constante.
       
  c. Bereken c. Rond je antwoord af op drie decimalen.
     

0,555
       
8. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2009  (gewijzigd)
     

  Een opgeblazen papieren zak heeft,  net als een kussen, een speciale vorm. Pas in 2004 is er een formule gevonden waarmee het volume van die vorm kan worden berekend.

Van een platte rechthoekige zak of kussen noemen we de kortste zijde a (in dm) en de langste zijde b (in dm). Zie de figuur hiernaast. Het volume V (in liter) van de opgeblazen zak of het kussen kan dan berekend worden met de formule:

V = a3 • (0,142 • 0,1r + 0,318 • r − 0,142)

Hierin is r de verhouding tussen de zijden: r = b/a
Een bedkussen heeft afmetingen van 4 dm bij 6 dm.
       
  a. Bereken het volume van dit kussen.  
     

22 liter
  Voor een vierkant kussen met zijden a kan bovenstaande formule vereenvoudigd worden tot V =  0,1902 • a3 .
       
  b. Toon dit aan.  
       
9. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2009
       
  Voor vuilniszakken bestaat er een formule om het volume te berekenen. Een volle vuilniszak wordt bovenaan dichtgeknoopt en krijgt daardoor ook een bijzondere vorm. Zie de foto hiernaast.
Het volume V (in liter) wordt berekend met:
 
 

Hierin zijn a en b de kortste en de langste zijde (in dm) van een platte, rechthoekige vuilniszak en is x de hoogte van de knoopstrook (in dm).
  Een vuilniszak met een korte zijde van 6 dm en een knoopstrook van 0,5 dm heeft een volume van 52 liter.
       
  a. Bereken de lange zijde b van de vuilniszak.
     

8,036 dm
  Voor vuilniszakken met een korte zijde van 5 dm en een lange zijde van 7,5 dm is het volume lineair afhankelijk van de knoopstrook x. De formule voor het volume van een vuilniszak is dus te schrijven in de vorm V = p • x + q.
       
  b. Herleid de formule tot deze vorm.
     

39,8-7,96x
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)