Variatie van Parameters.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
Het gaat ook in deze les nog steeds om de differentiaalvergelijking:
 
y'' + p(x) • y' + q(x) • y + r(x) = 0

Net als de methode van de onbepaalde coλfficiλnten van de vorige les, is de methode van de variatie van parameters ook een manier om een particuliere oplossing van een niet-homogene tweede orde differentiaalvergelijking te vinden.

Twee dingen zijn vooraf belangrijk om je te realiseren;
       
• Bij deze nieuwe methode moet je wel eerst een oplossing van de homogene vergelijking hebben.
• Bij deze nieuwe methode kom je een aantal integralen tegen, en het is elke keer maar weer de vraag of je de primitieven daarvan kunt vinden.....ofwel:    Hoe goed ben jij in primitiveren???????
       
Hoe werkt het?
       
De oplossing van de homogene vergelijking van een tweede orde differentiaalvergelijking zag er uit als  y = c1y1 + c2y2  waarin je  y1 en y2 kon vinden door de karakteristieke vergelijking op te lossen.
Als je het wat netter schrijft, dan zijn y en y1 en y2 dus functies van x,  en c1 en c2 zijn constanten.
Eigenlijk ziet de oplossing van de homogene vergelijking er dus zσ uit:  y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)

Om een particuliere oplossing te vinden gaan we een staaltje "out-of-the-box"-denken toepassen:
       

       
Tja, als we nou een vorm   y(x) = c1(x) • y1(x) + c2(x) • y2(x)  proberen, zou daarmee misschien een particuliere oplossing te vinden zijn?
Je zou zeggen: dat zijn zoveel mogelijkheden  voor al die functies; dat moet zeker lukken!! Waarschijnlijk kunnen we zelfs nog wel eisen aan de oplossingen stellen.

Om te kijken of zo'n oplossing goed is, moet je hem natuurlijk gewoon invullen in de differentiaalvergelijking.
En om die oplossing in te vullen in de differentiaalvergelijking moet je y' en  y'' eerst bepalen.

Met de productregel vind je:  y' = c1' • y1 + c1 • y1' + c2' •  y2 + c2 • y2'

OK. STOP!

Laten we ons werk nu alvast makkelijker maken door te eisen dat moet gelden  c1' • y1 + c2' • y2 = 0. We beperken ons daarmee wel tot bepaalde  c1 en c2  mogelijkheden, maar waarschijnlijk gaat het nog wel lukken.....
Dan houden we een veel makkelijker y' over:    y' =  c1 •  y1' + c2 •  y2'

Daarmee wordt de tweede afgeleide ook hanteerbaar:      y'' =  c1' •  y1' +  c1 •  y1''  +  c2'  •  y2' +  c2 •  y2''

invullen maar...
invullen in de differentiaalvergelijking helemaal boven aan deze les geeft het volgende:

c1' • y1' + c1 • y1''  + c2'  • y2'  + c2 • y2''  + p • (c1 •  y1' + c2 • y2' ) + q • (c1 • y1 + c2 • y2) + r = 0

Denk erom:  In deze vergelijking is dus ALLES een functie van x!!!
Herrangschikken maar:   (c1' •  y1'  + c2'  •  y2' ) + c1 (y1'' + p •  y1' + q •  y1)  + c2 (y2'' + p •  y2' + q •  y2)  + r = 0
Maar omdat y1 en y2 oplossingen van de homogene vergelijking waren zijn die twee blauwe stukken nul.
Dus blijft er over:  (c1' •  y1'  + c2'  •  y2' ) + r = 0
Met de eis van hierboven (bij y' )  komen we uit op de volgende twee vergelijkingen:
       
c1' •  y1 + c2' •  y2 = 0
c1' •  y1'  + c2'  •  y2'  + r = 0
       
Bedenk nog steeds goed dat  y1 en y2 bekenden zijn  (de oplossingen van de karakteristieke vergelijking), dus dat de onbekenden van dit stelsel van twee vergelijkingen c1' en c2' zijn!!
We lossen dit stelsel op met substitutie:  schrijf de bovenste vergelijking als  c1' = .... en vul dat in in de onderste.
En nu kun je deze c2' weer invullen in de vergelijking voor c1'  om die ook te vinden:
Om c1 en c2 te bepalen hoeven we alleen nog maar even de twee uitdrukkingen hierboven te primitiveren:
       

       
Lukt dat ??
       
Dat zal blijken uit een paar voorbeelden...Ik heb er op zich wel vertrouwen in... Maar ja... ik heb de voorbeelden dan ook uitgezocht.....
       
Voorbeeld 1.
Geef een particuliere oplossing van   y'' + y + sinx = 0

De homogene vergelijking is  y''  + y = 0  met als karakteristieke vergelijking  λ2 + 1 = 0   ⇒   λ = ± i
Dat geeft als oplossing  cosx + isinx
Dus  y1 = cosx en y2  = sinx   en dan is  y2 y1' - y2' y1 = -sin2x - cos2x  = -1
Dat geeft dan voor c1 en c2:
Tja...hoe goed ben jij in primitiveren?

Die eerste integraal kun je oplossen door de formule voor cos2x te gebruiken, en die tweede door de formule voor sin2x te  gebruiken.
• cos2x = 1 - 2sin2x  ⇒  2sin2x = 1 - cos2x ⇒  sin2x = 1/2 - 1/2cos2x
 
       
•
       
Dus een particuliere oplossing is   y = (1/2x - 1/4sin2x) • cosx  + 1/4cos2x • sinx
Als je het niet gelooft, controleer het dan maar door in de differentiaalvergelijking in te vullen......
       
Voorbeeld 2.
       
Geef een particuliere oplossing van  y''  - 3y' +  2y + ex = 0

De homogene vergelijking is   y''  - 3y' +  2y = 0 met als karakteristieke vergelijking  λ2 - 3λ + 2 = 0
Dat geeft λ = 1  ∨  λ = 2, dus de oplossingen zijn y1 = ex  en y2 = e2x 
Dan is  y2 y1' - y2' y1 = e2x ex - 2e2x ex = -e2xex = -e3x   en dat geeft voor c1 en c2:
Een particuliere oplossing is  y = xex + ex = (x + 1)ex 
       
       
1. Geef particuliere oplossingen van de volgende differentiaalvergelijkingen:
         
  a.
         
  b. y'' - y + xex = 0     (denk aan partieel primitiveren)
         
  c. y'' + 9y  = cos3x    
         
2. Van de differentiaalvergelijking  xy'' - (x + 1)y'  + y = x2  zijn  y1 = ex  en  y2 = x + 1  oplossingen van de homogene vergelijking. 
         
  a. Toon dat aan.
         
  b. Geef een particuliere oplossing.
         
  c. Geef de oplossingen als  y(0) = -2  en   y(1) = 0
         
         
De constante bij het primitiveren...
       
Soms blijft er na een lekker stukje wiskunde-theorie ergens in je achterhoofd toch nog een knagende vraag over...
In dit geval zou dat best kunnen zijn:  "Dat primitiveren om die c's te vinden, dat kan toch ook met een constante erbij? Hoe zit dat dan??"

Laten we gewoon kijken als we een constante bij c1 of c2 optellen en kijken wat er gebeurt. Het geeft:
       

       
De constanten p en q zijn toegevoegd, en de particuliere oplossing is dan c1y1 + c2y2.
Kijk wat er gebeurt als je de particuliere oplossing in de differentiaalvergelijking invult:
Die eerste twee stukken dat is de particuliere oplossing die je vindt zonder op die constanten te letten. Die laatste twee stukken zijn extra, maar daar staat gewoon een oplossing van de homogene vergelijking!
Dat geeft dus niets extra's: die oplossingen van de homogene vergelijking moeten we toch al met constanten erbij toevoegen.
De moraal:

vergeet die constanten; het komt vanzelf goed!
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)