We bekijken regelmatige veelhoeken die ingeschreven zijn in een
eenheidscirkel. Zie de figuren hiernaast.
Laten we beginnen met een driehoek.
Omdat de zwaartelijnen van een driehoek elkaar in stukken met
verhouding 1 : 2 verdelen, en omdat het langste deel van de
zwaartelijn precies de straal van de cirkel is, heeft de
zwaartelijn lengte 1,5.
tan 60 = 1,5/x = √3
⇒ x = √3
Dan geldt PA • PB = √3 • √3 = 3
Dan het vierkant.
Daar staat x in een 1-1-√2
driehoek, dus x = √2
Dan geldt PA • PB • PC = √2
• 2 • √2 = 4
Hmm... driehoek 3, vierkant 4....zien wij hier regelmaat opduiken?
De zeshoek proberen (de vijfhoek vind ik te moeilijk)
x is de hoogtelijn van een gelijkzijdige driehoek met
zijden 1.
Dan vinden we met Pythagoras dat x2 + 0,52
= 12 ⇒
x = 0,5√3
En dan geldt PA • PB • PC • PD • PE = 1 • √3
• 2 • √3 • 1 = 6
Het begint er al aardig op te lijken. We durven de volgende
stelling aan:
|
Teken een regelmatige veelhoek waarvan de
omschreven cirkel straal 1 heeft.
Trek van een hoekpunt van deze regelmatige
veelhoek lijnen naar alle andere hoekpunten.
Dan is het product van hun lengtes precies gelijk
aan het aantal zijden van de veelhoek. |
|
|
 |
Jawel hoor: daar komen de complexe
getallen weer aangemarcheerd.
Laten we de veelhoek in het complexe vlak neerleggen met het
middelpunt in de oorsprong en punt P in 1 (eigenlijk 1 + 0i).
Dan zijn de hoekpunten van de veelhoek de oplossing van de
vergelijking zn = 1 ofwel zn
- 1 = 0
Dat kun je zien door die punten te schrijven als zk
= r • eiφ
. Daarbij is dan
φ = k
• 2π/n
dus bij de zeshoek is
φ
bijvoorbeeld 0, 1/3π,
2/3π,
π,
4/3π, 5/3π).
Verder is r = 1 dus kunnen we schrijven z = eiφ.
Dan is zn = eniφ
= ek•2π =
1
Voorlopige conclusie:
|
| zkn - 1
= 0 met z = eiφ
(φk = k •
2π/n) |
Nou weten we dat zn - 1 is te ontbinden
in zn - 1 = (z - 1) • (zn -
1 + zn - 2 + ... + z +
1)
Dus verandert zn - 1 = 0
in (z - 1) • (zn - 1
+ zn - 2 + ... + z + 1) = 0
De eerste factor zorgt duidelijk voor de oplossing z0
= 1
Het tweede deel moet dan alle andere oplossingen z1
tm zn -1 geven.
Dus geldt
zn - 1 + zn
- 2 + ... + z + 1 = (z - z1)
• (z - z2) • ... • (z - zn
- 1)
Vul nu voor z het getal 1 in, dan vinden we:
1 + 1 + ... + 1 = (1-z1) • (1 - z2)
• ... • (1 - zn - 1)
Ofwel : n = (1-z1) • (1
- z2) • ... • (1 - zn
- 1)
Neem de absolute waarde (lengte van de vector z)
van beide kanten: n = | (1 - z1)
|
• | (1 - z2) | • ... • | (1 - zn
- 1) |
En daar staat precies de stelling die we wilden bewijzen!
|
