© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Verdubbelen en Halveren.
       
Hiernaast staat de grafiek van iets dat exponentieel afneemt.

(Dan weten wij als kenners dus direct dat de groeifactor g kleiner zal zijn dan 1)

Op de y-as staat de hoeveelheid, en op de x-as de tijd.
De beginwaarde is 16.
In de grafiek hiernaast is elke keer gekeken naar wanneer de hoeveelheid zal zijn gehalveerd. Dat is (op de y-as) eerst bij de waarde 8, dan 4, dan 2 enz.
De bijbehorende punten zijn op de grafiek aangegeven, en er lijkt niet echt een regelmaat te zien, totdat je kijkt naar de rode pijlen hiernaast.

Die zijn allemaal even lang!!
       
Hoe berekenen we zo'n halveringstijd?

Nou, heel simpel. Stel de eindwaarde gewoon gelijk aan de helft van de beginwaarde.
Stel bijvoorbeeld dat de grafiek hierboven groeifactor 0,8 had, dan is de formule ervan   y = 16 • 0,8t  want de beginwaarde was 16.
Bij de halveringstijd is de hoeveelheid 8 geworden dus geldt  8 = 16 • 0,8t .
Invoeren in de GR en dan intersect geeft  t =  3,11 en dat is dus de halveringstijd.

En als je de beginwaarde niet weet?
Nou dan kies je maar wat, we zagen hierboven immers al dat dat niets uitmaakt..
Vroeger koos ik altijd  B = 100  (van 100%) en dan was dus y = 50.
Maar ik heb intussen ontdekt dat het veel handiger is om B = 1 te kiezen! Dan is y = 0,5 en dan  staat er namelijk  0,5 = gt
Handig!
Zo handig zelfs dat ik nu altijd B = 1 kies ook al weet ik dat B eigenlijk iets anders is!!!!!
       

halveringstijd vinden:  los op  gt = 0,5
       
En wat we nu voor halveringstijden hebben gevonden geldt ook voor allerlei "andere tijden":

•  verdubbelingtijd:  gt = 2
•  verdrievoudigingstijd:  gt = 3
•  tot-twintig-procent-terugbreng-tijd:  gt = 0,2
•  met-twintig-procent-verminder-tijd:  gt = 0,8
•  enz.  Ik merk dat ik een beetje op hol sla. Je hebt het vast al wel door...........
       
Toepassing:  Radio-activiteit.
       
De meest voorkomende toepassing van dat verdubbelen en halveren vind je bij radio-actieve stoffen.
Dat zijn stoffen die niet helemaal stabiel zijn, maar in de loop van de tijd door het uitzenden van straling veranderen in andere stoffen.

       
Hierboven  zie je schematisch hoe een deeltje Uranium-238 zo af en toe spontaan vervalt tot nieuw deeltje Thorium-234 onder het uitzenden van a-straling.
De halveringstijd van dit proces is 4,47 miljard jaar, dus  4470000000 jaar. Bij radioactiviteit spreekt men trouwens meestal over  halfwaardetijd.
Als je in miljarden jaren rekent dan geldt dus   g4,47 = 0,5
Dat geeft een groeifactor van  g = 0,51/4,47 = 0,8564  per miljard jaar.

Dat Thorium-234 zal ook weer vervallen naar een volgende stof, en dat gaat zo een poosje door. Voor Uranium-238 geef dat de volgende vervalreeks hiernaast, uiteindelijk eindigend met het stabiele Lood-214.
En elk van die stappen heeft zijn eigen halveringstijd variërend van 4,47 miljard jaar tot 164 ms 

Halveringsdikte.

Als radioactieve stoffen bewaard moeten worden dan gebeurt dat meestal in bunkers waarvan de wanden de straling absorberen. Van zo'n wand kun je dan de halveringsdikte voor die soort straling uitrekenen. Dat is de dikte die de straling terugbrengt tot de helft van de beginwaarde.

Als een soort beton bijvoorbeeld per meter  30% van de binnenkomende gamma-straling absorbeert, dan betekent dat, dat er per meter 70% wordt doorgelaten, dus dat g = 0,7 per meter.
Voor de halveringsdikte D geldt dan   0,5 = 0,7D
Dat geeft  D = 1,94 meter, dus elke 1,94 meter dikte halveert de hoeveelheid straling.

       
 
 
OPGAVEN
       
1. Bereken de halveringstijd bij de volgende groeifactoren:
         
  a. g = 0,58    
         
  b. g = 0,2    
         
  c. g = 0,9976    
         
2. a. Wat is de groeifactor per uur van een exponentieel proces met halveringstijd 8 uur ?
         
  b. Wat is de groeifactor per jaar van een exponentieel proces met verdubbelingstijd 16,2 jaar?
         
3. Radon is het zwaarste edelgas. het  is een radioactief gas dat van nature vrijkomt uit de bodem en uit bouwmaterialen zoals beton, baksteen en natuursteen. De halveringstijd van Radon is 3,8 dagen.
         
  a. Hoe lang duurt het dan totdat de straling van Radon teruggebracht is tot 1% van de beginhoeveelheid?
         
  b. Hoeveel procent neemt de activiteit van Radon af in 10 dagen?
         
4. Getint glas is glas dat een deel van het erop vallende zonlicht absorbeert.
Van een bepaald soort getint glas is gegeven dat elke millimeter dikte ervan 12% van het erop vallende licht absorbeert.
Hoe dik moet een ruit van dit soort glas zijn zodat nog de helft van het zonlicht dat erop valt wordt doorgelaten?
         
   
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)