Vermenigvuldigingen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Dat je getallen kunt vermenigvuldigen dat wist je natuurlijk wel, maar wist je ook dat je een grafiek kunt vermenigvuldigen?
Ja?
Echt waar?
Opschepper!

Een punt vermenigvuldigen is makkelijk.

Voorbeeld: 
"Vermenigvuldig het punt (3,4) ten opzichte van de lijn x = 1 met factor 3"  betekent niets anders dan:  "Maak de afstand van dit punt tot deze lijn 3 keer zo groot".  In de tekening hiernaast is dat gebeurd. Zoals je ziet wordt het nieuwe punt (7,4) want de oorspronkelijke afstand 2 wordt nu 6.

En als je een hele grafiek moet vermenigvuldigen dan vermenigvuldig je gewoon alle punten stuk voor stuk.
Dat heeft tot gevolg dat de afstand van de hele grafiek tot de lijn drie keer zo groot wordt.
Hieronder zie je twee voorbeelden van grafieken die worden vermenigvuldigd ten opzichte van de y-as of de x-as.

Als de factor kleiner dan 1 is, zal de grafiek naar de as toe in elkaar gedrukt worden (de afstand van alle punten tot de as wordt immers kleiner). Als de factor groter dan 1 is, zal de grafiek uitgerekt worden van de as af.
Wat zijn de gevolgen voor de formule?
1.  Vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor a.

Die is niet zo moeilijk: dan wordt de afstand van elk punt tot de x-as a keer zo groot.  Maar die afstand tot de x-as dat is de y!!!! Dus elke y wordt a keer zo groot. Dat betekent dus dat de hele formule (dat ís immers y) met a wordt vermenigvuldigd.

afstand tot de x-as a keer zo groot 
⇒  vermenigvuldig de hele formule met a

2.  Vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor a.
Lastiger.
Hiernaast zie je twee grafieken. De rode is verkregen door de blauwe te vermenigvuldigen t.o.v. de y-as met factor 3 (dus elk punt is drie keer zo ver van de y-as afgekomen).

Als we op zoek zijn naar f(x)  (dat is de y van de nieuwe formule) dan zie je hiernaast dat die gelijk is aan de y van de oude formule die hoort bij 1/3x.
En wat voor het getal 3 geldt geldt natuurlijk ook voor een willekeurige a.
Conclusie:

afstand tot de y -as a keer zo groot 
⇒  vervang  x  door 1/a •  x
   
  OPGAVEN
1. a. vermenigvuldig het punt (4,6) met factor 3  t.o.v. de x-as.  Wat is het resultaat?
   

(4, 18)
b. vermenigvuldig het punt  (2,3) met factor 0,5  t.o.v. de y-as. Wat is het resultaat?
   

(1,3)
c. vermenigvuldig het punt  (6,2) met factor 4   t.o.v. de lijn y = x.  Wat is het resultaat?
     

(12, -4)
2. a. De grafiek van  y = 5√x  wordt vermenigvuldigd  t.o.v. de x-as met factor 0,4. Geef een formule van de grafiek die dan ontstaat.
   

y = 2√x
b. De grafiek van y = 8x2  wordt vermenigvuldigd  t.o.v. de y-as met factor 2. Geef een formule van de grafiek die dan ontstaat.
   

y = 2x2
c. De grafiek van  y = 1/x wordt vermenigvuldigd t.o.v. de x-as met factor 5 en daarna t.o.v. de y-as met factor 2.  Geef een formule van de grafiek die dan ontstaat.
     

y = 10/x
3.

De grafieken hieronder zijn ontstaan door van een basisgrafiek eerst de afstand tot de x-as te veranderen en daarna opzij en/of omhoog te verschuiven. Leg uit hoeveel de verschuivingen waren en ook hoe groot de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as was.

4. a. Met welke factor moet je de lijn  y = 3x + 5 vermenigvuldigen t.o.v. de y-as om de lijn  y = 6x + 5  te krijgen? 
   

0,5
b. Je vermenigvuldigt de  lijn  y = 2x - 6  t.o.v. de x-as met factor 3 en  t.o.v. de y-as met factor 4.
Geef een formule van de lijn die dan ontstaat.
   

1,5x - 18
  c. De lijn   y = 2x + 1   gaat door een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as en een vermenigvuldiging t.o.v. de y-as over in de lijn y = 36x + 3.
Welke vermenigvuldigingen waren dat?
 

x-as 3
y-as 1/6
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)