webgrafieken en tijdgrafieken


Webgrafieken en Tijdgrafieken.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Laten we eens een eenvoudige recursievergelijking bekijken:

u(n) = 0,6 • u(n - 1) + 80 met u(0) = 0

Invoeren in de GR en dan een tabel voor de u(n) bekijken levert het volgende

Van deze laatste tabel kunnen we natuurlijk ook een grafiek maken (dat kunnen we namelijk van elke tabel).
Op de x-as komt n te staan en op de y-as u(n).
Dat betekent wel dat de grafiek zal bestaan uit een aantal losse stippen, omdat de x-waarden (de n) alleen gehele getallen kunnen zijn. Hieronder staan de eerste 10 stippen getekend. Zo'n grafiek heet een tijd-grafiek. Je kunt er in zien hoe u(n) zich ontwikkelt.

Het lijkt er in bovenstaande grafiek op dat de waarde van u(n) op den duur naar een constante waarde toe gaat lopen. Als we de tabel voor grotere n-waarden bekijken vermoeden we dat de u(n) op den duur gelijk gaat worden aan 200. (een soort horizontale asymptoot in de tijd-grafiek).
Maar wij als echte wiskundigen zitten nog wel met een paar pijnlijke vragen, nl:

"Hoe tonen we aan dat dat inderdaad naar 200 toe gaat?"
"Is dat voor andere waarden van u(0) ook zo?"

Een mooie manier om antwoord op deze intelligente vragen te geven is het maken van een WEBGRAFIEK.
Dat gaat als volgt.
Vergelijk de formule u(n) = 0,6 • u(n - 1) + 80 met y = 0,6x + 80
Als x dan een u(n - 1) is, dan is y de bijbehorende u(n), dus dat betekent:

Als x een bepaalde u is, dan is y de volgende u

Dat geeft de mogelijkheid om de tabel van de u(n) waarden in een grafiek weer te geven.

Het werkt als volgt:

Begin met u₀ = 0 op de x-as
Ga naar de grafiek van de lijn, dan vind je u₁ = 80 op de y-as.
Vanaf u₁= 80 op de x-as vind je op dezelfde manier u₂ = 128 op de y - as.
enz.

Kortom: je vindt steeds de volgende u op de y-as en die neem je over op de x-as om de daaropvolgende u weer te vinden.

Een handig systeem, met als enige nadeel dat je steeds een waarde van u van de y-as moet overnemen op de x-as (de blauwe lijnen hiernaast).

DAT KAN HANDIGER !!!

De grote truc hier is: teken de lijn y = x in de figuur.
Daarmee kun je handig een getal van de y-as overbrengen naar de x-as.
De kromme blauwe lijnen hierboven zijn hiernaast vervangen door rechte blauwe lijnen.

Begin bij u₀ = 0 op de x-as.
De rode pijl omhoog geeft u₁ = 80 op de y-as.
De blauwe pijlen geven u₁ = 80 op de x-as
ga weer omhoog en de rode pijl geeft u₂ = 128 op de y-as.
Daarna weer via blauw naar u₂ = 128 op de x-as

enz.

Alle stippellijnen in de figuur hiernaast zijn eigenlijk overbodig, dus die laten we weg.

Dat geeft de webgrafiek hiernaast.
Merk op dat de rode lijnen steeds een volgende u berekenen en dat de blauwe lijnen deze u naar de x-as overbrengen.

Op de x-as zien we de achtereenvolgende u-waarden verschijnen.

Met de GR vinden we zo'n webgrafiek als volgt:
• voer de recursievergelijking in (mode - seq)
• 2nd FORMAT - Web
• WINDOW x en y tussen 0 en 250
• GRAPH
• 2nd - CALC - value en dan bijv. n = 4

Dat geeft 4 stappen:

Als je je bedenkt dat ook op de y-as van een webgrafiek de waarden van u_n staan, dan kun je uit een webgrafiek ook grafisch in één keer een tijdgrafiek maken. Het volgende plaatje zal dat waarschijnlijk wel duidelijk maken.

OPGAVEN

Teken de eerste vier stappen in een webgrafiek voor de recursievergelijking u(n) = 0,9u(n - 1) + 10 met u₀ = 10.

Teken de eerste vier stappen van de tijdgrafiek die bij onderstaande webgrafiek hoort.

Als je oneindig veel stappen zou tekenen, wat zijn dan de mogelijke waarden voor u_¥?

Gegeven is de rij getallen u_n met recursievergelijking u_n = ⁶/_u(n-1) + 1

Bereken in vier decimalen nauwkeurig u₁₀ als u₀ = 2

2,9784

Deze rij nadert naar een grenswaarde. Bepaal deze grenswaarde eerst met je GR en daarna exact algebraïsch.

G = 3

Hieronder staan in de linkerfiguur de grafieken van y = x en y = 1 + ⁶/_x getekend.

Teken in deze figuren de eerste 4 stappen van een webgrafiek en van een tijdgrafiek als u₀ = 1. Doe dat zonder berekeningen te maken.

Gegeven is de rij getallen u_n met u_n = u_n-₁² – 6u_n-₁ + 10

Neem u₀ = 2,8 en bereken u₂₀ in vier decimalen nauwkeurig.

1,0816

Hieronder zie je de grafieken van y = x en y = x² – 6x + 10

Neem u₀ = 3,5 en teken 4 stappen van de webgrafiek. Teken ook vier stappen van de tijdgrafiek in de rechterfiguur.

examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2003

Gegeven is de rij:

In de volgende twee vragen kiezen we de startwaarde a = 2
In de figuur hieronder staat de webgrafiek bij deze startwaarde.

Bereken u₁, u₂, u₃ en u₄.

-3, -¹/₂, ¹/₃, 2

Bereken u₉₉₉₉₉₉. Licht je antwoord toe.

¹/₃

We kunnen ook andere startwaarden a nemen dan 2. Als we a = 0 nemen, heeft de rij maar twee termen: u₀ en u₁; dan is de term u₂ namelijk niet gedefinieerd.
Behalve a = 0 is er nog een startwaarde waarbij één van de termen in de rij u_n gelijk is aan 0. De daaropvolgende term in de rij is dan niet gedefinieerd.

Welke startwaarde is dat? Licht je antwoord toe.

-1

In de rest van deze opgave werken we met startwaarden waarbij u₁, u₂ en u₃ wél gedefinieerd zijn. Bij zo'n startwaarde a kun je achtereenvolgens u₁ en u₂ bepalen.

Toon langs algebraïsche weg aan dat de uitdrukking die je voor u₂ krijgt kan worden
vereenvoudigd tot ^-1/_a

Nu je u₂ hebt gevonden kun je u₄ ook bepalen.

Toon aan dat u₄ = a

Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2003.

Gegeven zijn de functies f`(x) = ¹/₄x² en g(x) = ^-4/_x²
Bij een startwaarde u₀ > 0 is de rij van positieve getallen u_n gedefinieerd door u_n= f(u_n-₁).
De rij van negatieve getallen v_n is gedefinieerd door v_n = g(u_n).
In de figuur hieronder zijn de plaats van u₀ op de x-as, de grafieken van f en g en de lijn y = x getekend.

Teken in bovenstaande figuur de plaats van v₂ op de x-as.

Bij een bepaalde startwaarde van u₀ krijgt v₁ de waarde -1. Bereken deze startwaarde u₀

16384^1/8

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2007.

De functie f is gegeven door:

In de figuur hiernaast is de grafiek van f getekend, evenals de lijn y = x
Bij elke startwaarde s is er een rij u₀, u₁, u₂, ... vastgelegd door:

Neem s = 5. Bij deze startwaarde vertonen de termen van de rij vanaf n = 3 een bepaalde regelmaat.

Geef voor n ≥ 3 een directe formule waarin je u_n uitdrukt in n. Licht je antwoord toe.

Er zijn startwaarden waarvoor de rij bestaat uit twee verschillende getallen die elkaar afwisselen. Dus u₂= u₀.

Eén van die startwaarden is groter dan 5. Bereken deze startwaarde exact.

5,4

We bekijken het gedrag van de rij voor startwaarden tussen ⁵/₆ en ⁷/₆. Veronderstel dat je voor alle startwaarden tussen ⁵/₆ en ⁷/₆ de eerste stap tekent van de webgrafiek. In de figuur hiernaast is de strook die dan ontstaat met grijs aangegeven.

Wanneer je voor alle startwaarden tussen ⁵/₆ en ⁷/₆ het vervolg van de webgrafiek tekent, ontstaat het vervolg van de strook.

Onderzoek met behulp van de figuur of de rijen met startwaarden tussen ⁵/₆ en ⁷/₆ convergeren.