Wentelen om de y-as.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Het vlakdeel hiernaast wordt begrensd door de y-as, de lijn y = 6 en de grafiek van  y = 1/4x2 + 2
We gaan dit vlakdeel nu eens een keertje niet wentelen om de x-as, maar om de y-as.
Dat geeft zoiets:

We zouden nu dit lichaam in allemaal horizontale schijfjes met dikte dh kunnen opsplitsen, en dan van elk schijfje de inhoud opschrijven en dan al die inhouden optellen. Dat geeft een SOM (Σ) en als we dan dh naar 0 laten gaan een integraal.
Daar komen we best uit... denk ik....
Maar het kan handiger. 
Dit is de grote truc:
Spiegel het vlakdeel in de lijn y = x
Dan verandert het groene vakdeel in het oranje.
Het groene vlakdeel wentelen om de y-as geeft precies hetzelfde resultaat als het oranje vlakdeel wentelen om de x-as.

En daar hebben we al een formule voor:

Het probleem is nu; wat is het functievoorschrift van de gespiegelde f geworden? En dat is bij spiegelen in de lijn y = x een oude bekende: het is de inverse   finv .
Het recept daarvoor was:

Verwissel x en y en schrijf opnieuw y = ....
In dit geval geeft dat:
y = 1/4x2 + 2  wordt  x = 1/4y2 + 2
⇒  x - 2 = 1/4y2
⇒  4x - 8 = y2
⇒  y = √(4x - 8)   (of  -√... maar de grafiek ligt boven de x-as dus die mogelijkheid valt af)
Kortom de opgave is geworden:  wentel de grafiek van  √(4x - 8) om de x-as.
Denk er wel om dat de grenzen nu ook gespiegeld zijn; het vlakdeel ligt nu tussen x = 2 en x = 6
   
  OPGAVEN
1. Bereken de exacte waarde van de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als je de volgende vlakdelen wentelt om de y-as:
               
  a. V1, ingesloten door de grafiek van  y = √(2x - 4) en de x-as en de y-as en de lijn y = 2.

1414/15π
  b. V2, ingesloten door de grafiek van  y = ln(2x) en de x-as en de y-as en de lijn y = 1.

1/8π(e2 - 1)
  c. V3, ingesloten door de grafiek van  y = 1/2x3 en de x-as en de lijn x = 2.

9,6π
  d. V4, ingesloten door de grafiek van  y = 2/(x + 1) - 1   en de y-as en de x-as.

3 + 4ln2
               
       
2. De grafieken van y = ³√x en   y = 1/2x  snijden elkaar voor x ≥ 0   in   (0,0) en in (√8, √2)
Ze sluiten voor x ≥ 0  samen een vlakdeel V in.
Je kunt V  wentelen om de x-as, maar natuurlijk ook om de y-as. In beide gevallen krijg je een omwentelingslichaam.
       
  a. Toon aan dat beide grafieken inderdaad door  (√8, √2) gaan
     
  b. Kun je zonder een berekening te maken voorspellen welk van die beide omwentelingslichamen de grootste inhoud zal hebben?
       
  c. Controleer je antwoord op vraag b) door van  beide omwentelingslichamen de inhoud in twee decimalen nauwkeurig te berekenen.
     

4,74 en 6,77
  d. Bereken beide inhouden exact.  
     

16/15π√2 en 32/21π√2
   
3. V is het vlakdeel, ingesloten door de grafiek van y = 1/(x + 2) en de x-as en de y-as en de lijn x = 4
Bereken de  inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als V wordt gewenteld om de y-as.
       
  a. Afgerond op twee decimalen.

11,33
       
  b. De exacte waarde.

π(51/3 - 4ln3)
 
4. Op de grafiek van y = x2  kiezen we een punt P met coördinaten (p, p2)
Teken ook de projecties van P op de coördinaatassen. Dat geeft twee vlakdelen.
V wordt ingesloten door de grafiek van f en de y-as en de lijn y = p2
W wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijn x = p
We wentelen V om de y-as en W om de x-as.

Voor welke p zijn de inhouden van de lichamen die we dan krijgen gelijk?

     

p = 2,5
       
5. Gegeven zijn de functies:  f(x) = √(x + 3)  en  g(x) = x2 - 9 op het domein [-3, 0]
       
  a. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel V dat ingesloten wordt door de grafieken van f en g en de y-as
     

 
  b. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als vlakdeel V wordt gewenteld om de y-as.
       
       
6. Het deel van de grafiek van y = 10/x tussen x = 1 en x = 3 wordt gewenteld om de y-as. Daarbij ontstaat een soort vaas, zoals je hiernaast ziet.

Bereken de exacte waarde van de inhoud van deze vaas.
     

20π
       
7. Gegeven is de functie  f(x) = 1/(x + 1)

De lijn y = 0,5 en de y-as en de grafiek van f sluiten een vlakdeel V in.
       
  a. Bereken algebraïsch de oppervlakte van V.
     

ln2 - 0,5
  b. Vlakdeel V wordt gewenteld om de y-as.  Bereken algebraïsch de inhoud van V.
     

π(1,5-2ln2)
       
8. Het vlakdeel in gesloten door de grafieken van  y = 2√(x - 1) en  y = x - 1  wordt gewenteld om de lijn x = -1.
Bereken algebraïsch de inhoud van het omwentelingslichaam dat dan ontstaat.
     

191/5π
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)