© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Bewegingen met wrijving.
       
Laten we de baan van een raket bekijken die met snelheid v0 op de grond begint, en precies verticaal wordt afgeschoten, en geen brandstof heeft.

Die raket ondervindt dan twee krachten:		  

•

 De zwaartekracht FZ = mg

•

 De luchtwrijving FW = 1/2ρv2CA   en daarin is:  
    ρ = dichtheid van de lucht.
v = snelheid.
C = constante, afhankelijk van de vorm.
A = oppervlakte van de doorsnede (loodrecht op de beweegrichting)
       
Voorafje:  Vrije val.

Als voorbereiding bekijken we eerst een voorwerp in vrije val. Als dat valt wordt de snelheid eerst steeds groter als gevolg van de zwaartekracht. Maar als die snelheid groter wordt, dan wordt ook de wrijvingskracht groter (die hangt af van v2) Op een gegeven moment zal de wrijvingskracht even groot als de zwaartekracht zijn geworden, en dan is de totale netto kracht op het voorwerp NUL. Het zal dan dus met constante eindsnelheid (vE) vallen.
Dan geldt:  FW = FZ  ofwel   mg = 1/2ρvE2CA , en daaruit vinden we vrij eenvoudig de eindsnelheid vE:

Onthoud die formule, we hebben hem straks weer nodig.

De raket stijgt.

Als de raket stijgt (op t = 0 met beginsnelheid v0), dan werken de wrijvingskracht en de zwaartekracht samen om hem af te remmen. Dan geldt voor de totale kracht FT op de raket:  FT = - FW - FZ.
Die totale kracht is gelijk aan ma voor de raket:   ma = -1/2ρv2CA - mg
Maar de versnelling a is de afgeleide van de snelheid v, dus er staat eigenlijk:  mv'  = -1/2ρv2CA - mg
En nou staat daar in die breuk aan de rechterkant bijna vE van hierboven! Laten we hem er gewoon inzetten:

Breng dat stuk tussen haken naar de andere kant en integreer beide kanten van 0 tot t:

En die integraal aan de linkerkant is een oude bekende:  arctangens!!!!  (die v'  in de noemer is mooi; die krijg je immers toch met de kettingregel)
Dat geeft de oplossing:
Deel nu alles door vE , en breng die arctan(v0/vE) naar de andere kant (die is immers constant)
Neem daarna van beide kanten de tangens. Daarbij kun je gebruik maken voor deze eigenschap van tangens:
Als je dat doet, dan geldt elke keer dat tan(arctanx) = x, dus dat vereenvoudigt de boel nogal, kijk maar:

Dit is de vergelijking voor v(t)  tijdens de omhooggaande  beweging.
De top wordt bereikt als v(t) = 0 dus als de teller van die breuk nul is.
       
Hoe hoog komt dat ding?
       
Om de verticale afgelegde weg te berekenen zou je de vergelijking voor de snelheid moeten integreren.

Maar die is nogal moeilijk! Dat is die vergelijking met die twee tangensen erin.

Gelukkig is er een uitweg, omdat we al een uitdrukking voor v' hadden.
Als je je realiseert dat   dv/dt = dv/dy • dy/dt  dan kun je een differentiaalvergelijking tussen v en y maken.
Kijk, die dv/dt die hebben we al, en verder is dy/dt natuurlijk weer gelijk aan v(t)
Dat geeft:

Deze variabelen zijn makkelijk te scheiden:

Nu van beide kanten de integraal nemen. De linkerkant met grenzen v0 en v, de rechterkant met grenzen 0 en y.
De primitieve van de uitdrukking aan de linkerkant is (op een constante na) de natuurlijk logaritme van de noemer. (die v in de teller komt er dan vanzelf vanwege de kettingregel)
Primitiveren en grenzen invullen geeft:
       
(voor de laatste regel is gebruikt dan lna - lnb = ln(a/b)  en daarna is alles met vE2 vermenigvuldigd)

En daar is dan eindelijk de vergelijking voor de afgelegde afstand y.
't Is wél een beetje onhandig allemaal; als je de afstand op tijdstip t wilt weten moet je eerst de snelheid op dat tijdstip berekenen met die nogal ingewikkelde v(t) formule,  en die dan weer in deze laatste formule invullen om de afstand te krijgen.
Gelukkig weten we voor de top dat de snelheid daar nul is.
Dat geeft voor de maximale hoogte:

       
Voorbeeld.

Je schiet een raket van 3 kg met een doorsnede van 0,01m2 de lucht in.
De luchtdichtheid is 1,2 kg/m3 en de vormfactor C voor jouw raket is 0,7.
Als de beginsnelheid 10 m/s is, hoe hoog komt die raket dan?

Berekening:
De eindsnelheid in vrije val is vE = √((2 • 3 • 9,8)/(1,2 • 0,7 • 0,01)) = √7000 = 83,66 m/s.
Dat is nog niet erg spectaculair hoog, maar goed, zo heel snel is 10 m/sec nou ook weer niet.
En, mocht je erin geďnteresseerd zijn, die top wordt bereikt na:   83,66/9,8 • arctan(10/83,66) = 1,01 sec.
       
             
1. Laten we proberen de raket van het laatste voorbeeld hoger te krijgen.
Dat kun je doen door vE te veranderen of door v0 te veranderen....
             
  Welke waarde zou je voor v0 moeten halen als de raket minstens 20 meter hoog moet komen?
           

20,1 m/s.
2. Een raket van 5 kg wordt weggeschoten met een snelheid van 40 m/s.
De luchtdichtheid is 1,2 kg/m3 , de doorsnede van de raket is 0,02 m2 en de vormfactor is 0,8.
Bereken hoe hoog deze raket kan komen.
           

71 m.
             
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)