© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Wat heeft  ζ(s) te maken met priemgetallen?
       
Euler liet op een prachtige manier zien dat de zetafunctie te maken heeft met het aantal priemgetallen dat er is.
Hij deed dat door in een aantal stappen ζ(s) te veranderen.

Kijk en bewonder het genie Euler......Ik vind het elke keer weer geweldig!

stap 1:  vermenigvuldig  ζ(s) met  1/2s
 

  Trek dit af van  ζ(s), dan verdwijnen alle even machten uit de reeks.
 

       
stap 2:  vermenigvuldig dit met  1/3s 
 

  Trek dit af van  (1 - 1/2s )ζ(s), dan verdwijnen alle drievouden uit de reeks.
 

       
stap 3:  vermenigvuldig dit met  1/5s
 

  Trek dit af van  (1 - 1/2s )(1 - 1/3s)ζ(s), dan verdwijnen alle vijfvouden uit de reeks.
 

       
enzovoorts.

Ik heb er maar één woord voor:

Briljant!!

Zie je wat hij doet?  't Is eigenlijk net zoiets als de "Zeef van Eratostenes".  Eén voor één verdwijnen alle machten van de priemgetallen uit de reeks, en komen die priemgetallen in de vorm  (1 - 1/ps)  aan de linkerkant bij  ζ(s) te staan.
Ga hiermee alsmaar door, en de overblijvende termen aan de rechterkant worden kleiner en kleiner (neem aan dat s > 1). Dat gaat naar 1 toe.
Dus dan staat er  ζ(s) • (1 - 1/2s )(1 - 1/3s)(1 - 1/5s )(1 - 1/7s)..... = 1  en dat geeft als je al die factoren naast ζ(s) naar de rechterkant brengt:
       

       
(Π  staat voor het product, en s > 1)

Zo en passant bewijst Euler ook even weer dat er oneindig veel priemgetallen zijn, immers  ζ(1) = ∞, dus moet de rechterkant wel een oneindig aantal factoren hebben, want elke is tussen 1 (p = ∞ ) en 2  (p = 2).

Wauw!!!  Waarom kan ik dit soort dingen niet verzinnen?  Hier past slechts bescheidenheid..... en bewondering voor het genie Euler natuurlijk.
       
Euler slaat op hol!
       
Maar Euler had er nog geen genoeg van! Hij ging gewoon nog lekker even door.
De volgende truc die uit zijn mouw kwam was het idee om logaritmen te gaan gebruiken.
Vanwege de harmonische reeks  1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... = ∞  wist hij al dat  ζ(1)  = ∞
Maar als dat naar oneindig gaat, dan gaat de logaritme ervan óók naar oneindig....   dus  ln ζ(1)  = ∞
 

Maar omdat geldt  ln(ab) = lna + lnb  en omdat  ln(x-1) = -lnx  kun je dat zó herschrijven:

Nou is er voor ln(1 + x) makkelijk een  Taylorreeks  te maken rondom x = 0.  
f(x) =  ln(1 + x)  dus  f(0) = 0
f '(x) = (1 + x)-1  dus   f '(0) =  1
f ''(x) = -(1 + x)-2  dus   f '' (0) = -1  
f '''(x) = 2(1 + x)-3  dus  f '''(0) = 2 
f (4) (x) = -6(1 + x)-4  dus   f(4) (0) = -6
enz.
Dat geeft  rond x = 0 als Taylorreeks :   ln(1 + x) =  0 + x - 1/2x2 + 1/3x3  - 1/4x4  + ....
Neem  x = -1/p  en haal het minteken weer binnen de som, dan vind je:  

Die sommen aan de rechterkant zijn, op de eerste na, af te schatten.
Bijvoorbeeld de tweede is  1/2 • {1/2² + 1/3² + 1/5² + 1/7² + 1/11².... }  en dat is kleiner dan   1/2 • {1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² .... }
Dat laatste gaat naar  π²/6, 
Maar omdat  lnζ(1) oneindig groot is, betekent dat, dat ook die eerste som aan de rechterkant oneindig groot moet zijn!!! 
 

 

Zie je wat daar staat?
Daar staat iets over het aantal priemgetallen!
Daar staat een nog veel sterkere bewering dan dat er oneindig veel priemgetallen zijn.

Omdat bijvoorbeeld de som van 1/n²  NIET oneindig is  (maar gelijk aan  ζ(2) = 1/6π2)  betekent dat bijvoorbeeld dat er op één of andere manier méér priemgetallen dan kwadraten zijn. Alhoewel er van beiden oneindig veel zijn!!!
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)