Nieuwe pagina 1


OPGAVEN

1.	Gegeven is parameterkromme K door: x(t) = cos(2t) en y(t) = 2sin 3t Benader de helling van K in beide keerpunten.



OPLOSSING

1.	De gemeenschappelijke periode is 2p dus we nemen t uit [0, 2p]. x'(t) = 0 Þ 2sin(2t) = 0 Þ 2t = 0 (mod 2p) V 2t = p (mod 2p) Þ t = 0 (mod p) V t = ¹/₂p (mod p) dat geeft de oplossingen t = 0, ¹/₂p, p , 1¹/₂p en 2p y '= 6cos 3t en dat is ook nul bij t = ¹/₂p en t = 1¹/₂p dus daar bevinden zich de keerpunten. Neem t = ¹/₂p geeft het punt (-1, -2) t = ¹/₂p + 0.01 geeft het punt (-0.9998, -1.9991) ^Dy/_D_x = 4¹/₂ en dat is de gevraagde helling. t = 1¹/₂p levert op dezelfde manier helling -4¹/₂


Keerpunten

Keerpunten zijn punten waarin zowel de x-beweging als de y-beweging omkeert. Dat betekent dat in een keerpunt zowel x'(t) = 0 als y'(t)= 0 Los dus gewoon één van beiden op en kijk of de gevonden t-waarden ook nul bij de andere vergelijking opleveren. Als dat zo is, is er een keerpunt.

De helling in een keerpunt

Die benader je door een t-waarde vlak naast het keerpunt te nemen. Daarmee bereken je een punt vlak naast het keerpunt. De helling in het keerpunt wordt dan benaderd door Dy/Dx tussen beide punten.