Nieuwe pagina 1


OPGAVEN

1.	Onder de schaakborden hiernaast staat steeds aangegeven hoeveel vierkanten er in totaal te vinden zijn op het bord. Geef een directe formule voor de verschilrij Du(n) Bepaal daaruit hoeveel vierkanten er op een bord van 30 bij 30 te vinden zullen zijn.

2.	Voor een rij geldt de directe formule u(n) = 5 • 2ⁿ - n Geef een directe formule voor de verschilrij Du(n) van deze rij.



OPLOSSING

1.	De verschilrij is 4 - 9 - 16 - 25 - ... en dat zijn precies alle kwadraten. Dus Du(n) = n² Dat betekent dat u(n) - u(n - 1) = n² als we de eerste nummer 1 noemen. Dus u(n) = u(n - 1) + n² Dat is in te voeren in de grafische rekenmachine. nMin = 1 u(n) = u(n - 1) + n² u(nMin) = 1 TABLE geeft u(30) = 9455

2.	u(n) = 5 • 2ⁿ - n u(n + 1) - u(n) = {5 • 2ⁿ^{+ 1} - (n + 1)} -{ 5 • 2ⁿ- n} = 5 • 2ⁿ• 2 - n - 1 - 5 • 2ⁿ + n = 5 • 2ⁿ - 1


Verschilrij

De verschilrij Du(n) ontstaat door de opeenvolgende getallen van rij u(n) van elkaar af te trekken. Voorbeeld: de rij 1 - 2 - 4 - 7 - 11 -... geeft de verschilrij 1 - 2 - 3 - 4 -...

in formule: Du(n) = u(n + 1) - u(n)

De verschilrij van een rekenkundige rij is nogal saai: een constante rij. De verschilrij van een meetkundige rij is wéér een meetkundige rij met dezelfde reden als de oorspronkelijke

Formule afleiden uit een directe formule.

Als je een directe formule hebt voor u(n) kun je makkelijk een formule voor Du(n) afleiden. Kijk maar: Stel u(n) = n² Dan is Du(n) = u(n + 1) - u(n) = (n + 1)² - n² = 2n + 1

Terugredeneren

Als je een formule voor de verschilrij hebt kun je makkelijk een recursieformule van de rij zelf terugvinden. Het voorbeeld hierboven heeft Du(n) = n. Invullen in formule hierboven geeft n = u(n + 1) - u(n) Ofwel u(n + 1) = n + u(n)