VWO WA12, 2004 - I, COMPEX

 

Koerssprint
       
In deze opgave gebruiken we enkele Excelbestanden. Het kan zijn dat de uitkomsten van de berekeningen in de bestanden iets verschillen van de exacte waarden door afrondingen.
Verder kunnen in de bestanden soms bepaalde waarden niet precies bereikt worden. In dat geval wordt de dichtstbijzijnde waarde gekozen.
       
Neem aan dat je een bedrag belegt in aandelen, waarvan de waarde elke maand met 2/3 % stijgt.
       
3p. 1. Bereken met hoeveel procent de waarde van deze aandelen na ιιn jaar is gestegen.
       

Stel je hebt maandelijks € 150 vrij te besteden. Je overweegt dat bedrag telkens in aandelen te beleggen. Dan zie je een advertentie van KoersSprint. “Dat is aantrekkelijk! Bij KoersSprint kun je aandelen kopen met geleend geld waarover je rente betaalt. Door gebruik te maken van de waardestijging van het aandelenpakket kun je dan behoorlijk veel winst maken.”

Hieronder zie je de advertentie.
       

       

De vraag is natuurlijk waarvoor je moet kiezen:

• voor beleggen via KoersSprint en elke maand € 150 betalen of

• voor zelf elke maand € 150 beleggen.

Het vervolg van deze opgave gaat over die keuze.
       
In het Excelbestand  KOERSSPRINT-1.XLS  is een deel van de in de advertentie genoemde website nagebouwd.
       

In dit bestand mag je alleen de schuifbalk gebruiken, dus niets invullen!

Bij de rekenvoorbeelden in de advertentie en op de website gaat men ervan uit dat de waarde van de via KoersSprint gekochte aandelen jaarlijks met een vast percentage stijgt.
Er is dan dus sprake van exponentiλle groei.
In het bestand kun je met de schuifbalk instellen hoeveel procent de waarde van de aandelen jaarlijks stijgt. De uitkering na vijf jaar wordt dan uitgerekend.

Het ingestelde percentage noemen we p. De uitkering na 5 jaar noemen we u. Zoals in de advertentie staat, wordt bij het percentage p = 12 de uitkering u = € 17153.
       
3p. 2. Stel een formule op waarmee bij elk percentage p de uitkering u te berekenen is.
       

Wie aan KoersSprint deelneemt, betaalt aan rente 60 keer € 150, dus in totaal € 9000.

Het kan zijn dat het percentage p zo laag is, dat de uitkering u lager is dan deze € 9000
       
3p. 3. Onderzoek voor welke gehele waarden van p dit geldt.
       

Sluit het Excelbestand KOERSSPRINT-1.XLS en open het Excelbestand  KOERSSPRINT-2.XLS.

Ook in dit bestand mag je alleen de schuifbalken gebruiken, dus niets invullen!
       

In KOERSSPRINT-2.XLS kun je net als in KOERSSPRINT-1.XLS het percentage p
instellen waarmee de waarde van de via KoersSprint gekochte aandelen jaarlijks stijgt. Je
ziet dan weer de uitkering van KoersSprint na 5 jaar.
Via KoersSprint beleggen betekent dat de deelnemer aan het eind van iedere maand € 150
rente aan KoersSprint betaalt. Die € 150 zou hij aan het eind van iedere maand ook zelf in aandelen kunnen beleggen. Om te berekenen wat het resultaat bij deze manier van beleggen is, hebben we het percentage waardestijging per maand nodig.
In KOERSSPRINT-2.XLS kun je daarom ook instellen hoeveel procent per maand de waarde van aandelen toeneemt bij zelf beleggen. Dit percentage noemen we m. Verder wordt in het bestand ook vermeld hoeveel procent per jaar overeenkomt met m% per maand. Dit komt later bij de jaarrendementbepaling verder aan de orde. Merk op dat dit percentage niet 12 - m is.

Verder zie je het eindbedrag bij zelf beleggen. Dit wordt overgenomen uit de afgebeelde tabel. Wanneer je een waarde van m via de schuifbalk instelt, dan zie je in de tabel de ontwikkeling van het bedrag bij zelf beleggen. De vermelde bedragen B(n) zijn telkens aan het eind van maand n, nadat de waardestijging van de afgelopen maand is bijgeteld en zojuist weer € 150 is belegd. Na 1 maand is juist de eerste € 150 belegd, maar is nog geen sprake van waardestijging. Na 60 maanden is juist de laatste € 150 belegd en staat er het eindbedrag.
De termen van de rij B(n) kunnen berekend worden met de lineaire recursievergelijking

B(n) = (1 + 0,01m) · B(n – 1) + 150 met B(0) = 0.

Maar de termen van de rij kunnen ook worden berekend met een directe formule (rangnummerformule).

Er geldt B(1) = 150 en voor m = 1 wordt de lineaire recursievergelijking  B(n) = 1,01 · B(n – 1) + 150.
       
5p 4.

Laat zien dat voor m = 1 de directe formule voor B(n) gelijk is aan
B(n) = 15 000 · (1,01n – 1) en laat met behulp van deze formule zien dat het eindbedrag dat in KOERSSPRINT-2.XLS berekend wordt voor m = 1 klopt.
       

Wanneer iemand aan het eind van elke maand zelf € 150 in aandelen belegt, is het eindbedrag na 5 jaar te vinden met de formule:

       
Hierin is m het percentage van de waardestijging van de aandelen per maand.

Neem aan dat de waarde van de bij KoersSprint gekochte aandelen stijgt met 9,6% per jaar.
       
4p. 5.

Benader met behulp van deze formule in vier decimalen nauwkeurig wat de waarde van m moet zijn om bij zelf beleggen een even groot eindbedrag te krijgen. Gebruik daarbij de grafische rekenmachine.
       

Jaarrendement

In KOERSSPRINT-1.XLS wordt het jaarrendement vermeld. Bij elke waarde van p hoort een jaarrendement. Zo is voor p = 12 bij een uitkering van € 17 153 na 5 jaar het jaarrendement 26,94%. (Je kunt dit controleren door het bestand even te openen en daarna weer te sluiten.) Dit percentage geeft aan wat de jaarlijkse waardestijging van de aandelen bij zelf beleggen zou moeten zijn om dezelfde opbrengst op te leveren als via beleggen bij KoersSprint.

Dat bij p = 12 het jaarrendement 26,94% is, betekent dus dat de waarde van de aandelen bij zelf beleggen met 26,94% per jaar zou moeten stijgen om ervoor te zorgen dat de waarde ervan na 5 jaar even groot (namelijk € 17 153) is als de uitkering bij KoersSprint.

In KOERSSPRINT-2.XLS kun je het jaarrendement bij een waardestijging p niet direct aflezen. Je kunt het vinden door m zo in te stellen dat na 5 jaar geldt:

eindbedrag bij zelf beleggen = eindbedrag bij KoersSprint.

De jaarlijkse waardestijging van de aandelen bij zelf beleggen is dan gelijk aan het jaarrendement.

In het bestand KOERSSPRINT-1.XLS kun je bij elk geheel percentage p (≥ 3) direct het bijbehorende jaarrendement zien. Met het bestand KOERSSPRINT-2.XLS kun je dit jaarrendement ook bepalen bij andere percentages. In KOERSSPRINT-2.XLS kun je p namelijk nauwkeuriger instellen. Daar is ook in de grafiek te zien of het eindbedrag via beleggen met KoersSprint (rode lijn) ongeveer gelijk is aan het eindbedrag (in blauw) bij zelf beleggen bij een in te stellen waardestijgingspercentage per maand m. Om het jaarrendement preciezer te kunnen bestuderen, gebruiken we daarom het Excelbestand KOERSSPRINT-2.XLS.

Neem aan dat de waarde van de via KoersSprint gekochte aandelen stijgt met 7,2% per jaar.
       
3p. 6.

Onderzoek met behulp van bestand KOERSSPRINT-2.XLS wat het jaarrendement is. Licht je werkwijze toe.
       

Zoals je al eerder hebt gezien, kan het voorkomen dat de uitkering van KoersSprint lager is dan het totaal van de maandelijks betaalde bedragen. Er is dan sprake van een negatief jaarrendement. Daarom kun je in het bestand voor m ook negatieve waarden instellen.
       
3p. 7.

Geef een voorbeeld van getallen p en m waarbij de waarde van de via KoersSprint gekochte aandelen nog wel stijgt (p > 0) maar het jaarrendement toch negatief is.
       

De afgelopen jaren daalden de aandelenkoersen en ontstonden er grote problemen bij bezitters van aandelen. Zo ook bij de deelnemers aan KoersSprint. Met het oog hierop kun je in het bestand ook voor p negatieve waarden instellen. Dan krijgen de deelnemers na 5 jaar helemaal niets uitgekeerd, maar hebben ze zelfs nog een schuld bij KoersSprint.

We kijken nu naar het effect van de KoersSprint-constructie. We letten op het verschil tussen zelf beleggen en deelname aan KoersSprint, waarbij de jaarlijkse waardestijging of waardedaling van de aandelen in beide gevallen hetzelfde is. We kunnen dan verschillende gevallen onderscheiden. Zie tabel 1.
       
 

jaarlijkse waardestijging
p van de
aandelen (in %)

uitkering
KoersSprint (in €)

eindbedrag bij zelf
beleggen (in €)

KoersSprint keert niets uit en de
deelnemer heeft een schuld aan
KoersSprint

 p kleiner dan 0 kleiner dan 0 kleiner dan 9000

KoersSprint keert niets uit, maar
er is ook geen schuld

 p = 0    

KoersSprint keert nog wel wat
uit, maar minder dan de
deelnemer in totaal betaald heeft

      

KoersSprint keert meer uit dan de
deelnemer in totaal betaald heeft,
maar minder dan het eindbedrag
bij zelf beleggen

      

KoersSprint keert meer uit dan
het eindbedrag bij zelf beleggen

      
       
8p. 8.

Vul deze tabel op de uitwerkbijlage verder in. Schrijf voor p, voor de uitkering van
KoersSprint en voor het eindbedrag bij zelf beleggen, de waarden op die in een cel van de
tabel van toepassing zijn. Doe dat op een manier die overeenkomt met de reeds ingevulde
voorbeelden in de tabel. Licht je werkwijze toe.
       
2p. 9. Voor welke waarden van p kun je beter zelf beleggen dan deelnemen aan KoersSprint?
       
Sluit Excel af. Het bestand KOERSSPRINT-2.XLS niet opslaan.