Differentiëren  
       
Wat weten we nog van differentiëren?

Bij een functie f  kun je een nieuwe functie  f ' maken.
Die nieuwe functie geeft aan hoe groot de helling van de grafiek van f is
We noemen hem  de afgeleide functie,  en zo'n afgeleide opstellen dat heet  differentiëren.

We hebben de volgende regels om te differentiëren al gehad:
functie afgeleide wat gebeurt hier?
xn n • xn-1 zet de macht ervoor en maak hem eentje lager
x 1 eigenlijk 1 • x0
f + a f ' constante getallen + en - kun je weglaten
a • f a • f ' constante getallen  × en  ÷  schrijf je over
f + g f ' + g' losse stukken (+ en -) mag je apart differentiëren
f • g ??? eerst anders gaan schrijven!
Die n van xn  mag ook best een negatief getal of een breuk zijn; de regel blijft gelden.
Twee veel voorkomende afgeleiden zijn daarom:
       
 
 
Toepassing:  raaklijn.
       
Een raaklijn aan een grafiek is een lijn die "tegen de grafiek aan ligt". Er is een groot verschil tussen raken en snijden. Zie de figuur hiernaast.

R heet een raakpunt en S een snijpunt.
Hoe vind je zo'n raakpunt?
Nou simpel:  je ziet in de figuur dat de raaklijn en de grafiek zelf in het raakpunt dezelfde helling hebben. Ze lopen daar "even steil".

Wiskundig gezegd komt dat op het volgende neer:

       
In het raakpunt hebben de grafiek van f en de raaklijn dezelfde helling
       
Als je de helling van de grafiek dan f  noemt en als de raaklijn de lijn  y = ax + b is, dan heeft die raaklijn helling a, dus dan kun  je nog simpeler zeggen:
 

 f '  =  a
       
Voorbeeld.   f(x) = x3 + 2x2 - 8x + 4.  Geef een vergelijking van de raaklijn in x = 2

Oplossing.
f '(x) = 3x2 + 4x - 8
dus  f '(2) = 3 × 4 + 4 × 2 - 8 = 12  en dat is de helling van de grafiek
maar dan is de helling van de raaklijn óók 12
dus de raaklijn is de lijn  y = 12x + b
f(2) = 8 + 2 × 4 - 8 × 2 + 4 = 4  dus het raakpunt is het punt  (2, 4)
De raaklijn y = 12x + b moet door (2, 4) gaan dus  4 = 12 × 2 + b
Dat geeft  b = -20
De raaklijn is de lijn  y = 12x - 20
       
Nog even de zaken op een rijtje  (of zoals wij in Groningen zeggen  "Nog eem de boudel op 'n riege"):
       
De raaklijn is  y = ax + b
 ×  stap 1:   bereken f '  in het raakpunt.
 ×  stap 2:  a =  f '
 ×  stap 3:  bereken f  in het raakpunt.
 ×  stap 4:  vul het raakpunt in bij  y = ax + b 
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. a. f(x) = 10√x - 2x
Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt waar x = 4
       
  b. g(x) = 12/x + 3x2
Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt waar x = 3
       
2. Als je een ballon leeg laat lopen dan loopt de lucht er eerst snel uit, maar die snelheid wordt daarna kleiner (omdat de druk in de ballon afneemt).

Voor de hoeveelheid lucht in een grote leeglopende ballon geldt de volgende formule:

L(t) = 14000(1 - t/12)2

Daarin is L de hoeveelheid lucht in ml en t de tijd in seconden.
       
  a. Hoe lang duurt het voordat de ballon leeg is?
       
  b. Hoeveel liter stroomt er per seconde op t = 5 uit de ballon?
       
3. De functie f  wordt gegeven door:
f(x) = 1 + x6.

De lijn y = 2 snijdt de grafiek in twee punten
De raaklijnen aan de grafiek van f in die twee punten snijden de x-as in de punten A en B. Zie de figuur hiernaast.

Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk AB.

       
4. Gegeven zijn de functies  f(x) = √x  en 
g(x) =  -2/x  - 3/2

Toon aan dat de lijn l met vergelijking
 y =  1/2x + 1/2   beide grafieken raakt.

       
5. Toon aan dat de lijn  y = 14x + 18  de grafiek van  f(x) = 3x3 + 5x + 12  raakt
       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)