afgeleide logaritmen

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De afgeleide van logx.

Dit was een belangrijk resultaat:

ln(x) = ^elog(x)

Omdat we de afgeleide van e^x kennen (dat is immers weer e^x) kunnen we nu de afgeleide van ln(x) bepalen. Dat gaat als volgt.
Eerst gaan we kijken wat er met de afgeleide van een functie gebeurt als deze wordt gespiegeld in de lijn y = x.

De rode grafiek in de linkerfiguur wordt gespiegeld in de lijn y = x. De twee blauwe lijnen zijn de raaklijnen in de punten R (die elkaars spiegelbeeld in y = x zijn). In de rechterfiguur zie je die twee raaklijnen nogmaals.
De bovenste raaklijn heeft helling ^Δ^y/_Δ_x = ^groen/_paars en de onderste heeft helling ^Δ^y/_Δ_x = ^paars/_groen Aan de lengte en kleur van die lijnstukjes zie je dat die twee precies elkaars omgekeerde zijn;

Bij spiegelen in y = x wordt de helling het omgekeerde

Dat gaan we nu gebruiken om de helling van lnx te bepalen, want we weten dat lnx = ^elogx en dat is de inverse van e^x dus die grafieken zijn elkaars gespiegelde in y = x.
Hiernaast staan beide grafieken getekend.

Het punt (p, e^p) ligt op de grafiek van e^x dus de helling in dat punt is de afgeleide van e^x en dat is weer e^x . Die helling bij x = p is dus e^p .

Maar volgens de stelling hierboven heeft de grafiek van ln(x) in het punt (e^p, p) dan de omgekeerde helling, dus helling ¹/_ep.
Dus elk punt waar x = e^p heeft helling ¹/_ep en dat is ¹/_xConclusie:

Wacht... Dat kan Sneller!

Het bewijs van die afgeleide met dat gedoe van die grafieken hierboven kan ook algebraïsch in één regel.
Kijk maar:
e^lnx = x dus de afgeleides zijn ook gelijk: (e^lnx)' = e^lnx • (lnx)' = 1 dus dan is (lnx)' = ¹/_e^lnx = ¹/_x. q.e.d.

En met andere grondtallen gaat het precies zo.
Daar voor geldt:

In feite is dit het algemene geval van de regel hierboven (daar is g = e dus ln(g) = 1)
Dat kun je op dezelfde manier als hierboven waarschijnlijk zelf wel afleiden. Het kan trouwens ook door gewoon van grondtal te veranderen.


1.	Geef de afgeleide van de volgende functies:


	a.	f(x) = 3lnx - 2x	d.	f(x) = 2x - ⁴logx	g.	f(x) = (lnx)³

	b.	f(x) = 2ln(4x + 3)	e.	f(x) = ²log(3x) + ²log(x)	h.	f(x) = 2 - ln(x³)

	c.	f(x) = 2 + x⁴ + 3lnx	f.	f(x) = ^0,5log(¹/_x)	i.	f(x) = √(lnx)

2.	Gegeven is de functie:


	Een lijn door de oorsprong raakt de grafiek van f(x). Bereken de exacte waarde van de coördinaten van het raakpunt.

3.	Gegeven zijn de functies:


	Geef een vergelijking van de verzameling van punten op de grafieken van f_p waarin de raaklijn horizontaal loopt.

4.	Gegeven zijn de functies f(x) = ln(4 - x) en g(x) = 1 + ln(2x). De lijn y = p snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B. De raaklijnen aan de grafieken in A en in B hebben richtingscoëfficiënten a en b Toon aan dat de verhouding tussen a en b constant is.

5.	Elk seizoen als er weer een koude winter lijkt aan te komen neemt het aantal leden van de Friese-Elfsteden-Vereniging sterk toe (om trouwens aan het eind van datzelfde seizoen ook weer af te nemen). Voor een bepaald seizoen heeft men (uiteraard na afloop) vastgesteld dat de toename is verlopen volgens een logaritmisch verband. Men stelde vanaf 1 december voor dat seizoen het volgende model op:

	N(t) = 7500 × log(x² + 460)

	Daarin is N het aantal leden en t de tijd in dagen vanaf 1 december. De formule bleek ongeveer geldig te zijn tot 1 februari.

	a.	Wanneer waren er dat seizoen voor het eerst meer dan 25000 leden?

	b.	Met welke snelheid (leden per dag) veranderde het aantal op 1 januari?

	c.	Op welk tijdstip groeide het aantal leden het snelst?