vergelijking cirkel

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De Cirkel.

Notatie-afspraak: met d(A, B) bedoelen we de afstand tussen A en B
Dat is wiskundig gezien altijd de kortste afstand.

De cirkel is zonder enige twijfel de eenvoudigste en ook mooiste tweedimensionale figuur. Het is de verzameling van punten met de volgende eigenschap:

Een cirkel bestaat uit alle punten met
dezelfde afstand (r) tot een middelpunt (M)

Hiernaast zie je een cirkel met straal r en middelpunt de oorsprong O. Voor een willekeurig punt P met coördinaten (x,y) op deze cirkel geldt dan met de stelling van Pythagoras: x² + y² = r² .
Tadáááá'! Dat is dus de vergelijking van die cirkel!!!

cirkel met middelpunt O: x² + y² = r²

En als het middelpunt niet de oorsprong is?

Nou, dan wordt de grafiek dus verschoven.
We weten gelukkig al hoe dat moet.
Dat gaat zó:

Vervang x door (x - a), dan schuift de figuur a naar rechts.
Vervang y door (y - a), dan schuift de figuur a omhoog.

(En met +a wordt dat dan uiteraard naar links/omlaag).

Waarom is dat logisch?
Stel dat het punt P voldoet aan x_P² + y_P² = r² en dat je dat punt a naar rechts schuift. Dan krijg je het punt Q (x_Q, y_Q). De vraag is : aan welke vergelijking voldoen de coördinaten van Q dan?
Omdat het punt a naar rechts is geschoven geldt:
x_Q= x_P + a en y_Q = y_P. Dus x_P = x_Q - a en y_P = y_Q.
Omdat geldt x_P² + y_P² = r² geldt dus ook (x_Q - a)² + y_Q² = r²

Het komt er eigenlijk op naar dat je, als je x vervangt door x - a, een grotere x nodig hebt om hetzelfde resultaat in je formule te krijgen (immers voordat je ermee kunt gaan rekenen moet je er eerst a aftrekken).
Een grotere x betekent: naar rechts!
En voor omhoog/omlaag schuiven geldt precies hetzelfde, maar dan met y.
Dus geldt in het algemeen voor een cirkel:

Cirkel met middelpunt M en straal r : (x - x_M)² + (y - y_M)² = r²

Dat had je trouwens ook in één keer kunnen zien:

Pythagoras in bovenstaande figuur levert heel eenvoudig (x - x_M)² + (y - y_M)² = r²

Waar kennen we dat ook alweer van?
Ik heb een déja vu.....
Oh ja, tuurlijk: het was de formule voor de afstand tussen twee punten uit deze les.

Binnen of Buiten?

Met die afstand in gedachten kun je heel snel zien of een punt binnen of buiten een cirkel ligt.
Je berekent gewoon (x - x_M)² + (y - y_M)²

Als dat gelijk is aan r² dan ligt het punt op de cirkel.

Als het groter is dan r² dan ligt het punt buiten de cirkel (immers dan is de afstand MP groter dan de straal van de cirkel.

Als het kleiner is dan r² dan ligt het punt binnen de cirkel (immers dan is de afstand MP kleiner dan de straal van de cirkel.

Afstand tussen twee cirkels.

Als je de afstand van een willekeurig punt P tot het middelpunt van een cirkel hebt berekend, dan weet je ook meteen de afstand van P tot die cirkel.
Kijk maar naar de volgende drie gevallen:

En op dezelfde manier kun je de afstand tussen twee cirkels berekenen door de afstand tussen beide middelpunten te bekijken. Bedenk daarbij dat, als twee cirkels elkaar raken, het raakpunt altijd op de verbindingslijn van beide middelpunten ligt.

OPGAVEN

Gegeven zijn de punten A(4, 6) en B(10, 14)

Geef een vergelijking van de cirkel met middelpunt A die door B gaat.

Geef een vergelijking van de cirkel die AB als middellijn heeft.

Geef een vergelijking van de cirkel met middelpunt B die afstand 2 tot A heeft.

Gegeven is de cirkel c: (x - 2)² + (y - 6)² = p

Voor welke p raakt deze cirkel de x-as?

Voor welke p ligt het punt (4, 12) binnen de cirkel?

Gegeven is de cirkel c₁ met middelpunt (10, 10) die zowel de x-as als de y-as raakt.

Geef een vergelijking van deze cirkel.

Er wordt een tweede cirkel getekend die zowel de x-as als de y-as als cirkel c₁ raakt.
Dan kun je het middelpunt van deze cirkel gelijkstellen aan (p, p)

Leg duidelijk uit waarom dat zo is.

Geef de vergelijking van deze tweede cirkel.

De cirkel met middelpunt (4, 12) en straal 13 snijdt de x-as
in de punten P en Q.

Stel een vergelijking van de cirkel op en bereken daarmee de afstand PQ