© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Sinusoïden optellen.
Wat zou er gebeuren als we twee verschillende sinusoïden bij elkaar optellen?

Verschillende amplitude of evenwichtslijn is nogal saai, kijk maar: 

•  2sinx + 4 sinx  geeft samen natuurlijk  6sinx
•  (3 + sinx) + (7 + sinx)  geeft samen natuurlijk  10 + sinx

Maar hoe is het als de periode verschilt? Of als de grafieken horizontaal zijn verschoven?

Interessant!!
Laten we gewoon met onze rekenmachine uitproberen wat er gebeurt:

A. Dezelfde periode:

De formules de hier bij elkaar worden opgeteld  verschillen in allerlei opzicht van elkaar. De amplitudes en horizontale verschuivingen en evenwichtslijnen zijn  verschillend. Toch zie je dat de opgetelde formules steeds gewoon een "normale" sinusoïde opleveren. 
Als je goed kijkt in bovenstaande grafieken ontdek je misschien zelfs dat de periode van die gezamenlijke grafiek hetzelfde is als die van de afzonderlijke grafieken. 
Dat is natuurlijk logisch: als de grafiek van f  bij x + p hetzelfde is als bij x en de grafiek van g is bij x + p ook hetzelfde als bij x, dan is de grafiek van f + g ook hetzelfde; als je twee dezelfde dingen bij elkaar optelt krijg je nou eenmaal hetzelfde! 

(In wiskundetaal:  yf+g(x + p) = yf (x + p) + yg(x + p) = yf (x) + yg(x) = yf + g(x)  waarbij p de periode is). 
Conclusie:  
 

twee sinusoïden met dezelfde periode geven wéér een sinusoïde met die periode.
B. Verschillende periodes.

Ziet er heel anders uit dan die vier die we eerder vonden waarbij de periodes gelijk waren. Deze grafieken zijn veel "onregelmatiger". En toch zijn ook deze grafieken bijna allemaal periodiek. 
Dat kun je als volgt inzien:

Stel dat de grafiek van  f  periodiek is met periode a. Dan is de grafiek is bij x = a hetzelfde als bij x = 0, en bij x = 2a wéér, en bij x = 3a wéér, en.....
zo krijg je een hele rij x-waarden waarbij de grafiek hetzelfde is en zich gaat herhalen:  x = 0, a, 2a, 3a, 4a, 5a, ....
Als de grafiek van g  periodiek is met periode b dan is er voor die grafiek ook zo'n rij x-waarden op te stellen
Dat is dan natuurlijk  x = 0, b, 2b, 3b, 4b, 5b, .....
En nou komt het:  Als er in deze twee rijen x-waarden ergens een DUBBELE staat, dan is daar zowel de grafiek van f als de grafiek van g weer precies hetzelfde als in het begin, dus vanaf deze dubbele zal ook de grafiek van f + g precies hetzelfde gaan verlopen als vanaf het begin!

 

Voorbeeld.  Stel  f(x) = sin(πx/42)  en  g(x) = (πx/15). Geef de periode van f + g

Oplossing:
f  heeft periode 84 en g heeft periode 30.
Maak twee series getallen van waaraf de grafieken van f en g zich herhalen:
 
Vanaf x = 420 gaan zowel  f als g zich herhalen, dus ook  f + g.
De periode van f + g is daarom 420.

Die periode van f + g  heet heel toepasselijk de gemeenschappelijke periode.

Nou is het wiskundig nogal lelijk om gewoon een rij getallen op te schrijven en dan maar te hopen dat we een dubbele tegenkomen. Dat kan ook best wat systematischer.....

Bij het voorbeeld hierboven zoeken we de eerste dubbele in de rijen  met veelvouden van 84 en van 30
Dus eigenlijk zoeken we de kleinste twee gehele getallen a en b  waarvoor geldt  84a = 30b
En die kun je handig vinden door 84 en 30 te ontbinden in priemgetallen!!
Kijk maar: 

·  84a = 30b
·  84 = 2 · 2 · 3 · 7  en   30 = 2 · 3 · 5
·  Dus staat er  2 · 2 · 3 · 7 · a  = 2 · 3 · 5 · b
 ·  Die 2 en 3 staan aan beide kanten en kunnen dus weg, dus blijft over  2 · 7 · a  = 5 · b
·  Nou, dan neem je voor a dus gewoon 5 en voor b neem je 2 · 7 = 14
·  Dat levert direct  gemeenschappelijke periode 2 · 2 · 3 · 7 · 5  = 2 · 3 · 5 · 14 = 420
Het voordeel van deze systematischer aanpak is dat het ook goed werkt als de periodes erg klein zijn, kijk maar:
   
Voorbeeld:    Geef de gemeenschappelijke periode van  f(x) = sin(270px)  en   g(x) = sin(1575px)

Oplossing:
De periodes zijn  2p/270p = 1/135  en   2p/1575p = 2/1575
Dus zoeken we twee getallen zodat 1/135 · a = 2/1575 · b
·   1575 · a =  2 · 135 · b
·   5 · 5 · 3 · 3 · 7 · a = 2 · 5 · 3 · 3 · 3 · b
·   5 · 7 · a = 2 · 3 · b
 ·   Neem a = 2 · 3 = 6  en b = 5 · 7 = 35
·   De gemeenschappelijke periode is  1/135 · 6 = 2/1575 · 35 = 2/45
C. Zwevingen.
We zagen dus dat sinussen met dezelfde periode wéér een sinus opleveren, en dat sinussen met verschillende periode een "vreemde" periodieke grafiek geven waarvan de periode gelijk is aan de gemeenschappelijke periode van de beide oorspronkelijke sinussen. Maar hoe zit het als de perioden niet helemáál gelijk zijn, maar bijna?
Op onderzoek maar weer met de GR (wat is het toch een handig apparaat!):

Interessant!
Bovenaan vinden we eerst het onregelmatige (maar wel periodieke) patroon dat we hierboven gewend waren. Maar als de frequenties van de twee functies erg dicht bij elkaar komen te liggen dan zien we ineens een zeer regelmatig patroon.
Waar komen we dit tegen?
   
Nou, vooral bij het stemmen van een gitaar (of ander snaarinstrument).
Als je een gitaar stemt dan sla je vaak twee snaren aan waarvan je wilt dat ze dezelfde frequentie (en dus periode) hebben.
Dus daarbij tel je twee sinusoïden bij elkaar op, waarvan je hoopt dat ze dezelfde periode hebben.

Bij de laatste toon in de grafieken hierboven zit je bijna goed.
Zoals je ziet hoor je dan ongeveer de goede frequentie, maar met een amplitude die nogal varieert
 

Kortom, je hoort je toon sterker en zwakker worden, met een veel lagere frequentie.
Dat noemen we het "zweven" van een toon.
Als je je gitaar aan 't stemmen bent is dat dus een teken dat je bijna goed zit....
Probeer de zwevingen steeds langzamer te laten gaan en je hebt je snaren precies goed gestemd!
   
 
 
OPGAVEN
   
1. Schrijf de volgende functies als één sinusoïde.
       
  a. f(x) = sin(4x - 1) + sin4(x - 2)
       
  b. f(x) = 1 - cos(3x) + cos(3x + 4)
       
2. Geef de gemeenschappelijke periode van de grafiek van de volgende functies: 
       
  a. f(x) = cos(1/2πx) + cos(1/9πx) 
       
  b. f(x) = cos(2/27πx) + sin(1/15π(x + 6))
       
  c. f(x) = sin(2/75πx) + sin(1/105πx)
       
3. Hieronder zie je een stukje van de grafiek van y = sinx + sinπx
In dit stuk van de grafiek is geen gemeenschappelijke periode te vinden. Het "danst maar wat op en neer".
       
 

       
  a. Leg duidelijk uit waarom deze grafiek geen periode heeft, dus zich nooit zal gaan herhalen.
       
  b. Welke van de volgende functies zijn periodiek?
I:    f(x) =  sinx + sin(x√2)
II:   f(x) =  cosx + cos(x • 0,2525252525252525....)
III:  f(x) =  sin (1/9x) + sin(1/13x)
IV:  f(x) =  cos(x + √5) + cos(πx)
       
4. Geef de gemeenschappelijke periode van de grafiek van de volgende functies: 
       
  a. f(x) = sin(180px)  en  g(x) =  sin(2310px)
       
  b. f(x) = sin(5616px)  en  g(x) = sin(1260px)
       
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)