het getal e

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De geboorte van e

In de les over de afgeleide van g^xhebben we ontdekt dat die afgeleide gelijk is aan
g^x • lng waarbij er gold:

(en dx nemen we het liefst zo klein mogelijk)

En bij de echte wiskundige "kriebelt" het nu.

Bij jou ook?

Gefeliciteerd! Dat is een goed teken. Laten we gaan krabben....

De wiskundige ziet dat de afgeleide van g^x gelijk is aan een constant getal maal g^x. Maar als we het nou zó weten te regelen dat dat constante getal gelijk is aan 1, dan staat er opeens een functie die gelijk is aan zijn eigen afgeleide!

Wauw!
Dus hoe snel de functie verandert is precies gelijk aan hoe hoog de grafiek is. Op hoogte 3 heeft 'ie helling 3 en op hoogte 5,28 helling 5,28.

Snel op zoek:

En nu nemen we dx zo klein mogelijk (zoals we immers graag willen).
Neem bijvoorbeeld dx = 0,00001 dan vind je g = 2,7182... En hoe kleiner dx hoe nauwkeuriger je uitkomt bij een vast constant getal. Hier kun je wat meer cijfers achter de komma vinden.
Deze g is zó apart en komt op zoveel plaatsen in de wiskunde voor dat er een speciale letter en naam aan zijn gegeven.
Het is het "getal van Euler" en heet voortaan e
Dus ln e = 1 en daarom is de afgeleide van e^x gelijk is aan.... precies!....e^x

f (x) = e^x ⇒ f '(x) = e^x

OPGAVEN

Gegeven zijn de functies f(x) = x • e^0,2x en g(x) = e^0,2x - 4
De lijn x = p snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B
Bereken de exacte waarde van de minimale lengte van lijnstuk AB.

De vorm van de Gateway Arch van architect Eero Saarinen in St. Louis in de Verenigde Staten is een voorbeeld van een zogenaamde kettinglijn.

De formule voor de Gateway Arch is
y = 230 - 0,5a • (e^x/a+ e^-x/a )
Daarbij is a een constante.
Het hoogste punt van de Arch ligt dan bij x = 0.

Bereken a als je weet dat de Gateway Arch 192 meter hoog is.

Als a = 40 dan staan beide poten van de Arch op de grond 195 meter uit elkaar.

Bereken in dat geval algebraïsch de hoek die de poten met de bodem maken.

3.	Gegeven zijn de functies f(x) = (x² - x + 2) • e^x en g(x) = 3e^x + p Bereken voor welke p de grafieken van f en g elkaar raken.

4.	Gegeven is de functie: f(x) = e^{1 - x²}

	Een lijn raakt de grafiek van f in het punt met x-coördinaat 2. Bereken het snijpunt van deze raaklijn met de x-as.

5.	Gegeven zijn de functies: f_p (x) = (2x + p) · e^x^²
	Voor welke p heeft de grafiek van f_p geen extreme waarden?

6.	Gegeven is de functie f(x) = e^{2 - x²} Geef een vergelijking van de buigraaklijn aan de grafiek van f