afgeleide exponentiele functie

	© h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven



	Gegeven zijn de functies f(x) = x • e^0,5x en g(x) = e^0,5x - 2 De lijn x = p snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B Bereken de exacte waarde van de minimale lengte van lijnstuk AB.

	Een kettinglijn is de kromme die precies de vorm beschrijft van een hangende ketting die aan beide uiteinden even hoog is vastgemaakt. De algemene formule voor een kettinglijn is y = 0,5a • (e^x/a+ e^-x/a ) Daarbij is a een constante die o.a. afhangt van het gewicht van de ketting. Daarbij ligt het laagste punt van de ketting bij x = 0.

	a.	Twee palen staan 4 meter uit elkaar. Een ketting waarvoor a = 0,8 is tussen deze twee palen vastgemaakt. Bereken algebraïsch in graden nauwkeurig de hoek die de ketting met een paal maakt in de ophangpunten.

	b.	Een ketting is op hoogte 5 meter vastgemaakt. Het laagste punt van de ketting hangt 2 meter boven de grond. Bereken de waarde van a voor deze ketting.

	Gegeven zijn de functies f(x) = (x² - 2x + 1) • e^x en g(x) = 3e^x + p Bereken voor welke p de grafieken van f en g elkaar raken.

	Gegeven is de functie:
	f(x) = e^{0,5 - x²}

	Een lijn raakt de grafiek van f in het punt met x-coördinaat 1. Bereken het snijpunt van deze raaklijn met de x-as.

	Gegeven zijn de functies: f_p (x) = (4x + p) · e^x^²
	Voor welke p heeft de grafiek van f_p geen extreme waarden?

	Gegeven is de functie f(x) = e^{5 - x²} Geef een vergelijking van het buigpunt van de grafiek van f




7.	In ruimtesondes zoals Voyager, Galileo en Cassini wordt stroom opgewekt door een hoeveelheid plutonium die door natuurlijk verval warmte genereert. Een dergelijke energiebron levert een gering vermogen maar gaat lang mee. ²³⁹Pu heeft een halveringstijd van 24 duizend jaar. Voor het stralingsniveau geldt dan bij benadering (met t de tijd in jaren) P(t) = P₀ • e^-0,000029t

	a.	Bereken hoe lang het duurt totdat van een hoeveelheid Plutonium nog maar 80% over is.

	b.	Neem P₀ = 100 en bereken P'(t) bij t = 20000. Geef een interpretatie van dit getal.

8.	dr. Marcel Minnaert schreef een echte klassieker: "De natuurkunde van het vrije veld", waarin hij allerlei "alledaagse" verschijnselen natuurkundig verklaart. Zo ziet iemand die steeds verder een bos inloopt in de verte nog licht van de bosrand tussen de stammen door. Maar die hoeveelheid licht wordt steeds kleiner. Minnaert vond het verband: I(l) = I₀ • e^-NDl Daarin is I de lichtintensiteit, I₀ de intensiteit aan de bosrand, N het aantal bomen per m², D de diameter van een boom op ooghoogte (in m) en l de afstand tot de bosrand (in m). Een bepaald bos heeft N = 0,9 en D = 0,12.

	a.	Hoe ver moet je dit bos inlopen zodat nog maar 30% van het licht van de bosrand te zien is?

	b.	Op welke plaats vanaf de bosrand neemt de intensiteit van het licht van de bosrand af met 1% van I₀ per meter?

8.
	Welke f_p heeft een extreme waarde bij x = 4?

10.

	a.	Toon aan dat de grafieken van f_p geen extremen hebben.

	b.	Voor welke waarden van p heeft de grafiek van f_p géén snijpunten met de grafiek van y = e^x ?

11.	Gegeven is de functie:


	a.	Geef de coördinaten van het minimum van f.

	b.	Op de grafiek van f ligt een punt A met x-coördinaat p en een punt B met x-coördinaat -p. Voor welke p staan de raaklijnen aan de grafiek van f in de punten A en B loodrecht op elkaar?

12.	Gegeven zijn de functies f(x) = x² • e ^-^0,5x en g(x) = (x + 2) • e^-0,5^x De lijn x = p met p > 2 snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in B. Bereken de maximale afstand AB.

13.	Examenopgave HAVO Wiskunde B, 2008. De functie f heeft een voorschrift dat een combinatie is van twee functievoorschriften:

	De grafiek van f bestaat dus ook uit twee delen. Deze twee delen sluiten in het punt (2, 3) weliswaar precies op elkaar aan, maar de hellingen van de twee grafiekdelen in dit punt zijn verschillend. Zie de figuur hieronder.

	a.	Bereken met behulp van differentiëren hoe groot die hellingen zijn




	De grafiek uit deze figuur wordt eerst evenwijdig aan de x-as en vervolgens evenwijdig aan de y-as zo verschoven dat de top T van de grafiek in de oorsprong (0, 0) komt te liggen.
	Bij de nieuwe grafiek die daardoor ontstaat, hoort een andere combinatie van twee functievoorschriften

	b.	Geef een functievoorschrift dat hoort bij het linkerdeel van de nieuwe grafiek. Licht je werkwijze toe.

14.	Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2003 Gegeven is de functie f (x) = x • e^-x

	a.	Los op: -0,1 < f(x) < 0,1. Rond de getallen in je antwoord af op twee decimalen.

	b.	Bereken algebraïsch de exacte coördinaten van de top van de grafiek van f.

	Op de grafiek van f ligt rechts van de y-as een punt A(a , a • e ^-a). Zie de figuur hieronder.



	De lijn p gaat door de punten O(0,0) en A. De richtingscoëfficiënt van p is ¹/₄

	c.	Bereken a. Rond het antwoord af op drie decimalen.

	Een lijn evenwijdig aan de y-as snijdt tussen O en A de grafiek van f in punt S en de lijn p in punt T.

	d.	Bereken hoe groot de lengte van ST maximaal is. Rond het antwoord af op drie decimalen.

15.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2007 Als een patiënt een dosis van een medicijn toegediend krijgt, zal de concentratie van dit medicijn in het bloed eerst toenemen en daarna afnemen. Van een bepaald medicijn wordt de concentratie C (in mg/cm³) in het bloed gegeven door de formule: C(t) = 0,12 • t • e^-^0,5^t Hierbij is t het aantal uren na het toedienen van één dosis van het medicijn. Van dit medicijn is bekend dat het werkzaam is zolang C groter is dan 0,035 mg/cm³. De tijd dat het medicijn werkzaam is bij 1 keer toedienen is minder dan 6 uur.

	a.	Bereken in minuten nauwkeurig hoe lang het medicijn in dit geval werkzaam is.

	Er geldt: C '(t) = 0,12 • (1 - 0,5t ) • e ^-0,5t

	b.	Toon dit aan.

	c.	Bereken het tijdstip waarop de concentratie het sterkst afneemt.

	Het medicijn wordt in gelijke doses toegediend met tussenpozen van 6 uur. Omdat 6 uur na de eerste keer toedienen van het medicijn een tweede dosis wordt toegediend, geldt vanaf t = 6 tot t = 12 de volgende formule voor de concentratie C^* (in mg/cm³) van het medicijn in het bloed: C^*(t ) = C(t ) + C(t - 6) Bij elke nieuwe dosis verandert de formule voor de concentratie van het medicijn in het bloed. In elke periode van 6 uur heeft de concentratie van het medicijn in het bloed een maximale waarde. De maximale waarde wordt in elke volgende periode van 6 uur iets groter. Het medicijn kan schadelijke gevolgen hebben als de concentratie boven de 0,11 mg/cm³ komt.

	d.	Onderzoek of dit het geval is binnen 24 uur na het begin van het toedienen van het medicijn.

16.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2008. De functie f is gegeven door f (x) = e^-x² . Het punt P(p, e^-p² ) ligt op de grafiek van f, waarbij p > 0 . Onder de grafiek van f ligt een rechthoek PQRS met P en Q op de grafiek en R en S op de x-as. Dus S is het punt ( p, 0 ). Zie de figuur hiernaast. Punt P kan zo op de grafiek van f gekozen worden dat PQ = PS. PQRS is dan een vierkant.

	a.	Bereken de oppervlakte van dit vierkant.

	b.	Bereken de waarde van p waarvoor de oppervlakte van PQRS maximaal is.

17.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2010. Een condensator is een elektrische component waarin je elektrische lading kunt opslaan. Iemand heeft een elektrisch circuit met één condensator gemaakt waarin geldt: als de lege condensator wordt opgeladen, neemt de condensatorspanning toe van 0 tot een limietspanning volgens de formule:

	Hierin is:
		U de condensatorspanning in Volt t de oplaadtijd in seconden en C de capaciteit van de condensator in Farad

	Een condensator met een capaciteit van 0,01 farad wordt in dit circuit opgeladen. In de figuur hiernaast is de grafiek van deze U als functie van t getekend.

	a.	Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,01 farad toeneemt op tijdstip t = 0 .

	Soms heb je niet direct de beschikking over een condensator met de juiste capaciteit. Om een kleinere capaciteit te krijgen, kun je meerdere condensatoren in serie schakelen.
	Een serieschakeling van n condensatoren met capaciteiten C₁, …, C_n heeft dezelfde werking als één condensator met capaciteit Cs , waarbij geldt:


	Zo hebben bijvoorbeeld twee in serie geschakelde condensatoren met een capaciteit van 0,01 farad dezelfde werking als één condensator met een capaciteit van 0,005 farad. We willen in het bovengenoemde circuit binnen een tijd van 10 seconden een condensatorspanning van minstens 10 volt verkrijgen. We beschikken over een groot aantal lege condensatoren, elk met een capaciteit van 0,01 farad.

	b.	Onderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken.

18.	examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1989 (gewijzigd). Gegeven is de functie f(x) = 10xe^-x voor 0 ≤ x ≤ 5. Hieronder is de grafiek van die functie getekend.



	De grafiek van f begint in O

	a.	Bereken de hoek die de grafiek in O met de x-as maakt (in graden nauwkeurig).

	b.	Bereken algebraïsch de grootste functiewaarde van f (in twee decimalen nauwkeurig).

	Op de grafiek van f ligt een punt A zodanig, dat de hellingscoëfficiënt van de lijn OA gelijk is aan 2. De x-coordinaat van punt A is gelijk aan x = lnp

	c.	Bereken algebraïsch de waarde van p.

19.	examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2015. Voor a > 1 is de functie f_a gegeven door: f_a(x) = a • e^x - e^2x De grafiek van f_a snijdt de x-as in het punt S(lna ,0). De grafiek van f_a heeft één top: punt T. De loodrechte projectie van T op de x-as is punt U. U ligt links van S op de x-as. Zie de figuur.



	De x-coördinaten van de punten U en S zijn afhankelijk van de waarde van a. Bewijs dat de lengte van lijnstuk US onafhankelijk is van a.

20.	Gegeven zijn de functies f_p(x) = e^px De lijn y = e snijdt de grafiek van f_pin het punt A. Toon aan dat de raaklijn in A aan de grafiek van f_p dan altijd door de oorsprong gaat.

21.	Gegeven zijn de functies f(x) = e^2x en g(x) =e^4x

	a.	Voor welke waarde van x hebben de grafieken van f en g gelijke helling?

	b.	Voor welke waarde van y is de horizontale afstand tussen de grafieken van f en g gelijk aan 1?

22.	Op de grafiek van de functie f(x) = e^x ligt een punt P met x-coördinaat p (p < 1) De raaklijn in P aan de grafiek van f snijdt de negatieve x-as in punt B en de positieve y-as in punt A. Bereken de maximale oppervlakte van driehoek OAB.

23.	examenvraagstuk WO Wiskunde B, 2018-I. Voor elke waarde van a met a > 0 wordt de functie f_a gegeven door f_a(x) = xe^axIn onderstaande figuur zie je voor een aantal waarden van a de grafiek van f_a. Ook is de lijn l met vergelijking y = ¹/_e • x weergegeven.



	Voor elke waarde van a met a > 0 heeft de grafiek van f_a precies één top. Bewijs dat deze top op lijn l ligt.

24.	Examenopgave VWO Wiskunde B, 2021-II. De functie f is gegeven door f(x) = e^-1/x voor x > 0 De raaklijn aan de grafiek van f in een punt P snijdt de x-as in een punt S. Zie onderstaande figuur.



	De x-coördinaat van S hangt af van de positie van P op de grafiek van f. Er is een positie van P waarvoor de x-coördinaat van S maximaal is. Bereken exact deze maximale waarde van de x-coördinaat van S.

25.	Examenopgave VWO Wiskunde B, 2022-II. De functie f is gegeven door f(x) = x • e^x De punten P en Q liggen op de grafiek van f. De x-coördinaat van P is p en de x-coördinaat van Q is 2p. Voor een bepaalde waarde van p heeft de lijn door P en Q een richtingscoëfficiënt van 6. Bereken exact deze waarde van p.

26.	Examenopgave VWO Wiskunde B, 2022-III. De functie f is gegeven door f(x) = e^x. Op de grafiek van f ligt een punt P( p, e^p) met p > 0. Zie de figuur.



	In de figuur zijn ook de vierkanten V en W getekend. Van vierkant V is P een hoekpunt en ligt een zijde op de y-as. Van vierkant W is P een hoekpunt en ligt een zijde op de x-as. Voor elke waarde van p bekijken we de verhouding:


	Er is een waarde van p waarvoor R maximaal is. Bereken exact de maximale waarde van R.

27.	In klein stadje krijgt men te maken met een rattenplaag. Op het moment dat men daar achter komt zijn er al 100 ratten. Het stadsbestuur looft direct een bedrag uit voor elke dode rat die ingeleverd wordt. Dat helpt niet direct: eerst blijft het aantal ratten nog stijgen, maar na verloop van tijd is de epidemie over zijn hoogste punt heen, en daalt het aantal ratten weer. Het volgende model blijkt het aantal ratten aardig te beschrijven:



	Daarin is R het aantal ratten en t de tijd in weken vanaf het ontdekken van de plaag

	a.	Bereken algebraïsch het maximale aantal ratten

	b.	Met welke snelheid (ratten per dag) neemt het aantal ratten af op t = 4? Geef een algebraïsche berekening.

	c.	Op welk moment is de snelheid waarmee het aantal ratten toeneemt maximaal?

28.	Een jongetje merkt na een klein onderzoek, dat het aantal snoepjes dat hij bij St. Maarten op een avond ophaalt nogal afhangt van hoeveel andere kinderen er in de wijk lopen. Hij stelt het volgende model op: S(k) = 65 • e^-0,012k Daarin is S het aantal snoepjes en k het aantal kinderen.

	a.	Bereken hoeveel kinderen er maximaal mogen lopen als hij minstens 30 snoepjes wil krijgen.

	b.	De eigenaar van de supermarkt in de wijk is vooral geïnteresseerd in de totale hoeveelheid snoep die in de wijk zal worden uitgedeeld. Bereken de hoeveelheid snoep die maximaal zal worden uitgedeeld.

29.	Gegeven is de functie f(x) = x • e^-^x Geef de vergelijking van de buigraaklijn (dat is de raaklijn in het buigpunt) van de grafiek van f .

30.	De normale verdeling heeft vergelijking


	Daarin zijn μ en σ constanten (μ is het gemiddelde en σ de standaarddeviatie) Toon aan dat de buigpunten van deze verdeling zich bevinden bij x = μ + σ en x = μ - σ

31.	De grafiek van de functie f(x) = (x² - a)e^2x heeft twee buigpunten. Het eerste buigpunt bevindt zich bij x = 1 Geef de coördinaten van het tweede buigpunt.

32.	Gegeven is de functie f(x) = 2x • e^{1 - x} Geef een vergelijking van de buigraaklijn van de grafiek van f.

33.	Gegeven zijn de functies f_a(x) = x² • e ^-^ax

	a.	Bereken algebraïsch de x-coördinaten van de buigpunten van f_√₂

	b.	De grafiek van f_a heeft twee verschillende buigpunten op horizontale afstand √2 van elkaar. Bereken a

34.	examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1986. Met domein R is voor elke p ∈ R gegeven de functie f_p : x → (2x² + px)e^-x De lijn x = 5 snijdt K_p loodrecht. Bereken p.

35.	examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1987. Van R naar R zijn gegeven de functies:


	Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is F de grafiek van f en G_p de grafiek van g_p. F snijdt G_p loodrecht. Bereken p.

36.	examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1999.

	Met domein R zijn de functies f en g gegeven door:


	Hiernaast zijn de grafieken van f en g getekend. De lijn x = p snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B.

	Bewijs dat de raaklijn in A aan de grafiek van f loodrecht staat op de raaklijn in B aan de grafiek van g.


© h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)