© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
 
Vergelijkingen met sinus en cosinus.
 
Meestal krijg je bij vergelijkingen een ingewikkelde uitdrukking met hier en daar x-en en getallen en bewerkingen en altijd ergens het = teken.
Het doel is dan om ervan te maken  x = ....
Met de balansmethode halen we dingen bij de x weg door gewoon het omgekeerde te doen.
Dat werkte bijvoorbeeld zó:
Los op:  2x + 4 = 8
stap 1: ik wil +4 daar weg hebben, dan doe ik beide kanten  -4, dus   2x + 4 - 4 = 8 - 4  ⇒  2x = 4
stap 2:  ik wil •2 daar weg hebben, dan doe ik beide kanten  ÷2, dus   2x÷2 = 4÷2  ⇒  x = 2.  KLAAR.
Het kwam er op neer dat je van bewerkingen die je weg wilt hebben gewoon het omgekeerde toepast. Voor "PLUS" doe je "MIN" en voor "KEER" doe je "GEDEELD DOOR" en andersom. Die bewerkingen die elkaar opheffen heten elkaars  inverse. 
   
Ook voor sinx bestaat zo'n inverse en die heet arcsinx. Hij zit op de rekenmachine onder de knop  SIN-1  (dus  SHIFT - SIN).  Die knop kan dus de bewerking sinx  voor ons weghalen uit vergelijkingen: 

sinx = a   ⇒  x = sin-1(a) 

Bijvoorbeeld:
Los op:  8sinx - 4 = 1

Oplossing:
stap 1:  ik wil -4 daar weg hebben, dan doe ik beide kanten +4, dus  8sinx - 4 + 4 = 1 + 4 ⇒  8sinx = 5
stap 2:  ik wil •8 daar weg hebben, dan doe ik beide kanten ÷8, dus  (8sinx)÷8 = 5÷8  ⇒  sinx = 0,625
stap 3:  ik wil "sin"  daar weg hebben, dan doe ik beide kanten  sin-1, dus sin-1(sinx) = sin-1(0,625)
links komt er dan x uit omdat sin en sin-1 elkaar opheffen
dat geeft   x = sin-10,625 en dat laatste is gelijk aan ongeveer 0,675
conclusie:  x = 0,675.
Helaas, zo simpel is het niet.
Er zijn complicaties met die arcsinx......
Dat kun je wel zien aan de grafiek. Bij de laatste stap vonden we  sinx = 0,625 met als oplossing  x = 0,675.
In de grafiek betekent sinx = 0,625 dat je de grafiek van y = sinx moet snijden met de grafiek van y = 0,625:

Inderdaad is x = 0,675 een oplossing zoals je ziet. Maar waarschijnlijk zie je ook al het probleem:
Er zijn veel méér oplossingen!
Die sin-1 knop geeft ons maar één van de oneindig vele oplossingen.
Dat heeft twee redenen:

1.  De sinusgrafiek is periodiek.

De periode is 2p, dus als je een oplossing hebt, dan vind je 2π verderop wéér een oplossing en steeds 2π verder wéér eentje, maar ook 2π naar links toe vind je steeds meer oplossingen.
Dat geven we in onze vergelijking aan met  + k • 2π en daarmee bedoelen we dus eigenlijk:
+ k • 2π  :   "Je mag er best een geheel aantal keer 2π bij optellen of van aftrekken"

(er staat wel +  maar als we k negatief nemen, dan vinden we natuurlijk de oplossingen aan de linkerkant).
De oplossing is dus voorlopig:  sinx = 0,625  ⇒  x = 0,675 + k • 2π
Dat is mooi, dan hebben nu al een heleboel oplossingen voor onze vergelijking sinx = 0,625:

2.  Binnen één periode zijn er twee oplossingen.
De situatie hierboven geeft al een heleboel oplossingen, maar nog steeds niet ALLE! Dat komt omdat er binnen één periode ook al twee oplossingen zijn, en die tweede oplossing vinden we niet door k • 2π te doen.

Hoe het wel kan zie je hiernaast. Het blauwe punt geeft de tweede oplossing binnen deze ene periode.  Door de symmetrie van de sinusgrafiek weet je dat beide groene lijnstukjes even lang zijn, en die lengte weet je: 0,675.
Maar dan moet de tweede oplossing zitten bij  x = π - 0,675 (de plaats van de blauwe vraagtekens).

sinx = p  heeft  een tweede oplossing, en die is  π - eerste
En natuurlijk moet je ook met deze tweede oplossing k • 2π doen, omdat die tweede oplossingen zich ook om de 2π herhalen:

samengevat:
 
sinx = p  ⇒  x = sin-1 p + k • 2π    ∨   x = π - sin-1p + k • 2π

PAS OP TWEE DINGEN:

•

 Denk erom dat je dit hele "gedoe" met die tweede oplossing en dat  k • 2π  toepast zodra je sin-1 gebruikt, dus zodra "sin" uit je vergelijkingen verdwijnt. Niet eerder en niet later!!!!

•

 Als je later een vergelijking waarin staat k • 2p ergens door gaat delen of ergens mee gaat vermenigvuldigen, dan moet je die k • 2π óók delen of vermenigvuldigen.
Hoogste tijd voor een voorbeeldje:
   
Los op in [0, 2π]:    8sin3(x - 1/4π) - 3 = 1

Oplossing:
8sin3(x - 1/4π) - 3 = 1
⇒  8sin3(x - 1/4π) = 4
⇒  sin3(x - 1/4π) = 1/2
 ⇒  3(x - 1/4π) = 1/6π + k • 2π  ∨   3(x - 1/4π) = π - 1/6π + k • 2π
⇒   x - 1/4π = 1/18π + k • 2/3π    ∨    x - 1/4π = 5/18π + k • 2/3π
⇒   x = 11/36π + k • 2/3π  ∨  x = 19/36π + k • 2/3π
Tussen 0 en 2π  geeft dat de volgende zes oplossingen:
x = 11/36π ∨  x = 35/36π  ∨   x = 59/36π  ∨  x = 19/36π  ∨  x = 43/46π  ∨  x = 67/36π

De rode stap is de moeilijkste. Daar gaat het het vaakst fout.
In de stap daaronder (de vijfde regel) is k • 2π óók door 3 gedeeld.
   
Hoe gaat het met cosinus?
     
Nou, gelukkig bijna hetzelfde als met sinus. Ook hier vinden we twee series oplossingen die steeds k • 2π van elkaar verschillen. Er is slechts één verschil, en dat zie je in de grafiek van cosx hiernaast.

cos-1(0,625) geeft als eerste oplossing ongeveer  x = 0,896
Uit de symmetrie van de cosinusgrafiek zie je dat de tweede oplossing (die blauwe vraagtekens) nu gelijk is aan 
2π - 0,896 dus  "2π min de eerste".

   

cosx = p  ⇒  x = cos-1 p + k • 2π    ∨   x = 2π - cos-1p + k • 2π
   
 
 
OPGAVEN
1. Los algebraïsch op  (neem x uit  [0,2p]). Rond je antwoorden indien nodig af op twee decimalen:
             
a. 2cos(x + 1/3π) =  1   d. 3 - sin(3x) = 2,6
             
b. 5 - 3cos(2x) = 4    e. 2 + sin(x + 1/2π) = 2,5  
             
c. 8 + cosx = 5 - 4cosx   f. 6 - 4 • sin(2x - π) = 4
           
2. De hoogte van het water in Helgoland is (o.a.) afhankelijk van de getijden.
Een actuele voorspelling voor allerlei plaatsen kun je trouwens op deze site vinden.
De havenmeester stelt voor 25 december 2011 de volgende vergelijking op:  h(t) = 0,5 + 0,9sin0,52(t - 5)
Daarin is t de tijd in uren vanaf  0:00 uur, en h de waterhoogte in meter.
           
  a. Omdat jij natuurlijk weet dat het om de 12 uur eb is, kon je die 0,52 uit de formule zelf al wel voorspellen. Leg uit hoe.
           
  b. Hoe lang zal het water op 25 december in Helgoland hoger dan  1,2 meter zijn?
           
3. Op het interval  [0, 4p] is de functie f  gegeven door:
 

           
  De lijn m is gegeven door y = 2/5.
Lijn  m snijdt de grafiek van g achtereenvolgens in de punten A, B, C en D. Zie de volgende figuur.
           
 

           
  Bereken exact de afstand tussen  A en  D.
           
4. Veranderingen van de waterhoogte in een rivier hebben gevolgen voor de hoogte van het grondwater in het weiland achter de dijk. Het doorgeven van de schommelingen van de waterdruk in de rivier via het grondwater naar het weiland en het opzuigen en weer afstaan van water door het dijklichaam zelf spelen daarbij een rol.
Voor de hoogte van het grondwater in een weiland achter een dijk op een bepaalde plaats in Nederland is een sterk vereenvoudigd wiskundig model gemaakt.
           
 

  Daarin is
HW = hoogte grondwater weiland in m t.o.v. NAP
t = tijd in maanden.
           
  a. Bereken hoe lang het grondwater in een jaar hoger dan 1,1 meter staat.  Geef je antwoord in dagen nauwkeurig.
   
  b. Bereken op welk moment het grondwater het snelst daalt.
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)