De helling van een kromme.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
Even het geheugen opfrissen:  hoe ging het ook alweer bij de helling van een "gewone" functie? 

Als je de helling in een punt P met een bepaalde xP wilt weten, dan bereken je eerst de coördinaten van P met de formule voor f(x).

Vervolgens kies je een punt Q vlak ernaast door xP + Δx te nemen (hoe dichterbij hoe beter dus die Δx moet zo klein mogelijk).

Je berekent ook de coördinaten van punt Q  met de formule voor f(x) en benadert vervolgens de helling door  Δy/Δx.

Je krijgt dan eigenlijk de helling van het rechte lijnstuk PQ, maar als die P en Q maar dichter en dichter bij elkaar worden gekozen dan nadert die helling naar de helling van de grafiek zelf, dus naar de afgeleide f '(x).

Het gaat natuurlijk veel sneller gewoon f '(x) te berekenen......

Bij parameterkrommen is het zwakke punt in dit verhaal dat er geen formule f(x) is, dus is er ook geen f ' te maken!

Je zou toch voor dezelfde aanpak kunnen kiezen, maar dan moet je deze drie stappen kunnen doen:
· bereken bij xP eerst t  (als dat lukt), dan kun je daaruit yP berekenen
· bereken ook bij xP + Δx de t (als dat lukt) dan kun je daaruit yQ berekenen.
· bereken tenslotte  Δy/Δx.

Maar deze aanpak heeft twee nadelen. Ten eerste is het nogal veel werk. Ten tweede stond er twee keer "als dat lukt" in deze omschrijving! Het is helemaal niet gezegd dat de vergelijkingen x(t) = xP zijn op te lossen!!
Het kan handiger als we ons concentreren op de t in plaats van de x. Dat is eigenlijk meestal bij parameterkrommen de handigste aanpak.......
   
Je kunt namelijk een punt Q  vlak naast P ook kiezen door een t vlak naast de vorige te kiezen. Door als het ware t + Δt te doen dus!!!

Dan zijn die Δx en Δy heel snel te berekenen omdat we wél de formules voor x(t) en y(t) hebben:

uit de grafiek van x(t) volgt dat  Δx/Δt = x'(t)  dus  Δx = x'(t) × Δt
uit de grafiek van y(t) volgt dat  Δy/Δt = y'(t)  dus  Δy = y' (t) × Δt

       
Kijk!  Dat is tenminste een resultaat waar je wat mee kunt!
       

 
Voorbeeld.

Gegeven is de parameterkromme  x(t) = t3 - 2t  en   y(t) = t2 . 
a.  Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt waar t = -1/2.
b.  In welk punt heeft deze kromme helling 0,4?

Oplossingen:

t = - 1/2  geeft x = 7/8  en   y = 1/4   (gewoon invullen).
x'(t) = 3t2 - 2  dus  x'(-1/2) = -11/4.   Verder is   y'(t) = 2t  dus  y'(-1/2) = -1
Dan is y'/x' =  4/5  dus de raaklijn heeft vergelijking  y = 4/5x + b
Het punt  (7/8 , 1/4) invullen geeft dan b = -9/20  dus de raaklijn is  y = 4/5x - 9/20

Als de helling 0,4 is, dan moet gelden   y'/x'  = 2t/3t2 - 2  = 0,4
Dat geeft  2t = 0,4(3t2 - 2)  = 1,2t2 - 0,8  ofwel  1,2t2 - 2t - 0,8 = 0
Dat heeft de oplossingen t = 2 en t = -1/3.
Invullen geeft de punten (4, 4)  en  (17/27, 1/9).
       
Hoeken berekenen.
       
Nu we eenmaal weten hoe we de helling van een parameterkromme kunnen berekenen kunnen we met die helling ook allerlei hoeken gaan berekenen.
Weet je het nog?
Voor de hoek die de raaklijn (of dus ook de kromme zelf) met de x-as maakt geldt:
       

r.c. = tan(a)
       
Voorbeeld.
Gegeven is de kromme K door  x(t) = t2 - 4    en   y(t) = 1/t
Zie de figuur hiernaast
Bereken de hoek die K met de positieve y-as maakt

Oplossing:
x = 0  geeft  t = 2 (∨  t = -2 voor het andere snijpunt)
x' = 2t  dus  x '(2) = 4
y' = -1/t²  dus  y'(2) = -1/4
r.c. raaklijn  = y'/x' = -1/16
tan(a) = -1/16 geeft  a = -3,6° en dat is de hoek met de x-as
De hoek met de y-as is dan 86,4°
 

       
 
 
OPGAVEN
         
1. De kromme K wordt gegeven door  x(t) = 2t5 - t3  en   y(t) = 4t2
         
  a. Geef een vergelijking van de raaklijn aan K in het punt waar t = 2
         
  b. Leg uit waarom de vergelijkingen van de raaklijnen aan K in het punt (0,0) niet te berekenen zijn met de formule die je hebt geleerd voor de helling van een parameterkromme.
     
  c. Geef een vergelijking van de beide raaklijnen aan K in het andere snijpunt van K met de y-as. Leg uit hoe het kan dat een parameterkromme twee raaklijnen in één punt heeft.
         
2. De kromme K wordt gegeven door  x(t) = 2t3 - 6t  en   y(t) = et + tet
Geef een vergelijking van de raaklijn aan kromme K in het snijpunt met de positieve y-as.
         
3. De kromme K wordt gegeven door  x(t) = 2t2 + t  en   y(t) = 2lnt
Voor welke b raakt de lijn  y = 5x + b de kromme K?
         
4. De kromme K wordt gegeven door 
x(t) = cos2t - sint  en   y(t) = sin2t - cost

Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt waar t = 1/6π.

5. Gegeven is de parameterkromme K door:

x(t) = sin(t/2)  en  y(t) = cos( p - t/3)

Zie de figuur hiernaast.
       
  a. Bereken de hoek waaronder de kromme zichzelf snijdt op de y-as
       
  De twee losse "uiteinden" van de kromme noemen we keerpunten, want daar keert de beweging om.
Het rechter keerpunt P hoort hier o.a. bij  t = -3p.
Als je de helling in punt P algebraïsch probeert te berekeningen dan is dat niet mogelijk.
         
  b. Leg uit waarom dat niet lukt.
         
  c. Benader de helling in punt P door een punt vlak naast het keerpunt te gebruiken.
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)