|
|
Dit waren onze primitieven tot nu
toe:
| functie
f |
primitieve F |
| ...... |
....... |
| x4 |
1/5x5 |
| x3 |
1/4x4 |
| x2 |
1/3x3
|
| x1 |
1/2x2
|
| x0 |
x |
| x -2 |
-x -1 |
| x -3 |
-1/2x
-2 |
| x -4 |
-1/3x
-3 |
| ....... |
....... |
|
Daar valt iets aan op......
Er mist er eentje!!!! x-1 = 1/x
ontbreekt!!!
Bij primitiveren van xn
was de enige die tot nu toe niet lukte die van x-1
.
Immers de primitieve van xn was 1/n+1
• xn + 1 maar als n = -1
geeft dat 1/0 • x0 en dat
bestaat niet omdat je niet door nul kunt delen!
Gelukkig hebben we al een oplossing gevonden toen we de afgeleide van lnx
bepaalden.
Dat bleek precies deze 1/x te zijn!
Dus zal de primitieve van 1/x de functie F(x) = lnx
+ c zijn.
MAAR.....
|
| |
|
| Er is één probleem, en dat valt
je misschien op als je de grafieken van 1/x
en lnx naast elkaar ziet (zoals hiernaast).
Het probleem is, dat y = 1/x bij
negatieve x-waarden wél bestaat, maar lnx niet! Dat zou
betekenen dat de functie wél bestaat, maar dat de oppervlakte onder de
grafiek niet bestaat. Dat kan natuurlijk niet.
|
|
De oplossing is eenvoudig. Je
zoekt een functie waarvan de afgeleide gelijk is aan de linkertak van 1/x.
Aan de grafiek van 1/x zie je dat de waarden links en rechts van
de oorsprong gelijk maar tegengesteld zijn. Je zoekt dus een grafiek die
links van de oorsprong dezelfde helling als lnx heeft, alleen net
tegengesteld.
En dat is makkelijk te bereiken: spiegel de grafiek van lnx
gewoon in de y-as.
Je krijgt dan de blauwe grafiek hiernaast en dat is die van y =
ln(-x).
|
|
| conclusie: |
|
|
f(x) = 1/x
⇒ F(x) = ln|x|
|
|
| |
|
Voorbeeld 1.
Hiernaast staat de grafiek van f(x) = 1/(2x
- 4).
Bereken de groene oppervlakte (tussen x = -1 en x = 1, de
grafiek van f en de x-as).
Als je probeert als primitieve F = ln|2x - 4| dan krijg je als
afgeleide
F' = 1/(2x - 4) • 2 (van de
kettingregel)
Dus is de juiste primitieve F = 1/2
• ln|2x
- 4|
Omdat de oppervlakte onder de x-as zit, moet je een minteken voor
de integraal zetten:
en dat is - 1/2
ln|-2| + 1/2ln|-6|
= -1/2ln2 +
1/2ln6
(voor de echte liefhebbers:
- 1/2(ln2
- ln6) = -1/2(ln2/6)
= -1/2ln(1/3)
= 1/2ln3) |
 |
|
| |
|
Voorbereidend werk.
Soms moet je zulke gebroken functies eerst een beetje voorbereiden
voordat je ze kunt primitiveren. |
| |
|
Voorbeeld 2.
Geef de primitieve van: |
|
 |
| |
 |
| Een primitieve is dan 4x + ln|x|
- 5x -2 |
|
| |
|
| Voorbeeld 3.
Geef een primitieve van y = (2x + 5)/(2x
-
3)
En nu kun je primitiveren: F(x) = x + 4ln|2x
-
3|
|
|
| |
| |
|
| |
|
|
|
OPGAVEN. |
|
|
| 1. |
Geef primitieven van de volgende
functies: |
| |
|
|
|
|
|
|
a. |
f(x) = 6/(x
- 2) |
d. |
f(x) = 1/(6
- x)
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
b. |
f(x) = 6/x +
3x |
e. |
f(x) = 8/(4x
+ 3) |
|
| |
|
|
|
|
|
|
c. |
f(x) = 1/(2x) |
f. |
f(x) = 1/(x³) |
|
|
|
|
|
|
|
| 2. |
Geef primitieven van de volgende
functies: |
| |
|
|
|
|
|
|
|
a. |
 |
b. |
 |
c. |
 |
|
|
|
|
|
|
| 3. |
De grafieken van y = 2x2 en
y = 4x
en y = 1/(4x) sluiten een
aantal vlakdelen in. Bereken algebraïsch de oppervlakte
van vlakdeel V dat hiernaast is aangegeven.
|
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4. |
Gegeven is de functie f(x): |
|
|
|
|
 |
| |
|
|
|
|
|
| |
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten
door de grafiek van f en de lijn y = 8 |
|
| Bereken de exacte waarde van
de oppervlakte van V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| 5. |
De functie f is gegeven door: |
| |
 |
| |
|
|
|
|
| |
V is het vlakdeel, ingesloten
door de grafiek van f, de lijnen x = 1 en x = 3
en de x-as.
Bereken algebraïsch de oppervlakte van V. |
| |
|
| |
|
|
 |
|
|
|
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
|
|
|
|
