|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
 |
| Pythagoras
in de Eenheidscirkel. |
|
|
Hiernaast staan in een
eenheidscirkel voor drie hoeken
α,
β en
γ
de waarden van de bijbehorende sinus en de cosinus aangegeven.
Daar valt iets aan op......
Het zijn steeds zijden in een rechthoekige driehoek. En verder is de
schuine zijde van die driehoek steeds gelijk aan 1 (de straal van de
eenheidscirkel).
Als je zegt: "rechthoekige driehoek" dan zegt elke wiskundige direct
"Pythagoras". En als je naar de driehoeken hiernaast kijkt zie
je dat de stelling van Pythagoras in deze driehoeken steeds het zelfde
resultaat heeft:
(sinx)2 + (cosx)2 = 1 |
|
|
|
Notatieafspraak
Om veel haakjes te voorkomen schrijven we voortaan (sinx)2
als sin2x en (cosx)2
als cos2x
Dan wordt de stelling van Pythagoras in de eenheidscirkel: |
|
|
|
|
| |
| Toepassing
in vergelijkingen. |
|
|
| Deze Pythagoras-vorm kun je handig
gebruiken als in een opgave staat cos2x of sin2x
en je wilt dat graag veranderen in sinx of cosx, zoals in
het volgende voorbeeld. |
| |
|
Voorbeeld: Los op
in [0, 2π]: sin(x)
= 2cos2x - 1
sin2 x + cos2 x
= 1 geeft cos2x = 1
- sin2x
dus kun je die cos2x vervangen:
sin(x) = 2(1 - sin2 x)
- 1
⇒ 2sin2x +
sinx - 1 = 0
Als je nu sinx = p stelt, dan staat er 2p2
+ p - 1 = 0 en dat geeft met de ABC-formule
p = 1/2 ∨
p = -1
⇒ sinx = 1/2
∨ sinx = -1
⇒ x = 1/6π
+ k • 2π ∨
x =
π - 1/6π
+ k • 2π ∨
x = 11/2π
+ k • 2π
Dat geeft de oplossingen x = 1/6π,
x = 5/6π
, x = 11/2π. |
|
|
|
| |
|
|
| 1. |
a. |
Van een hoek
α
is sinα =
3/4.
Bereken de exacte waarde van cosα. |
| |
|
|
|
| |
b. |
Van een hoek
α
is cosα = 1/6. Bereken
de exacte waarde van tanα |
| |
|
|
|
| 2. |
a. |
Toon aan dat geldt
(sinx - cosx)2
= 1 + 2sinxcosx. |
| |
|
|
|
| |
b. |
Toon aan dat geldt: (sinx
- sinxcosx)(sinx
+ sinxcosx) = sin4x |
| |
|
|
|
| 3. |
Los algebraïsch op
in [0, 2π], geef je antwoord in twee
decimalen: |
| |
|
|
|
|
a. |
cosα
= 2sin2α |
| |
|
|
|
|
b. |
sinα
+ cos2α =
1,25. |
| |
|
|
|
| |
c. |
2sin2α
+ 6cos2α =
4. |
| |
|
|
|
| |
|
| 4. |
a. |
Los op in [0, 2π]:
-8sinx + 1 = -√(7 + 4sinx) |
|
| |
|
|
|
| |
b. |
Los op in [0, 2π]:
5 + 2sinx = 3cos2x + 2 |
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| 5. |
Van de vergelijking acos2x
- 2sinx - 2 = 0 op interval [0, 2π] is x
= 1/6π
een oplossing
Bereken algebraïsch de andere oplossing(en) van deze vergelijking. |
| |
|
|
|
| |
|
|
|
 |
|
| |
|
|
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|