© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Symmetrie.
   
Er zijn bij grafieken van functies twee soorten symmetrie te onderscheiden:  lijnsymmetrie en puntsymmetrie.
De vraag in deze les is:  als je vermoedt dat een functie symmetrisch is ten opzichte van een lijn of een punt, hoe toon je dat dan aan met het functievoorschrift?

1. Lijnsymmetrie  
   
In dit geval gaat het eigenlijk altijd over spiegelen in een verticale lijn, dus een lijn x = p
Een grafiek van een functie  kan nooit symmetrisch zijn in een horizontale lijn, want dan horen er bij één x-waarde twee y-waarden, en dan is het geen functie. (Om dezelfde reden kan zo'n grafiek trouwens ook niet symmetrisch zijn in een schuine lijn).
Hiernaast zie je een rode grafiek die symmetrisch is in de lijn x = p

Wat betekent dat nou eigenlijk?

Nou, als je vanaf de symmetrieas  x = p een stapje a naar rechts gaat  dan kom je uit bij het punt dat hoort bij  x =  p + a  En als je een even groot stapje a naar links gaat, dan kom je uit bij een punt dat hoort bij x = p - a.
Als de grafiek lijnsymmetrisch is, dan liggen die punten even hoog (zijn elkaars gespiegelde).

Dat betekent voor de formule:
 

f(p - a) = f(p + a)
 

 
Voorbeeld :  Toon aan dat de grafiek van    y = x2 - 4x - 6   symmetrisch is in de lijn x = 2

Oplossing:
Dan volgens de regel hierboven moet gelden dat  f(2 - a) = f(2 + a)
Invullen geeft:  (2 - a)2 - 4(2 - a) - 6  =?=  (2 + a)2 - 4(2 + a) - 6
haakjes wegwerken:  4 - 4a + a2 - 8 + 4a - 6 =?=  4 + 4a + a2 - 8 - 4a - 6
dat geeft  a2 - 10 =?= a2 - 10
dat klopt inderdaad voor elke a dus is de grafiek symmetrisch in x = 2
   
2. Puntsymmetrie
   
De functie hiernaast is symmetrisch ten opzichte van het punt (p, q).

Dat betekent het volgende:
Als je vanaf dat punt een stapje a naar links gaat en een stapje a naar rechts, dan liggen de bijbehorende y-waarden even ver van q af. De ene is even veel omhoog gegaan als de andere omlaag.
Dat betekent dat het gemiddelde van die y-waarden gelijk is aan q.
Ofwel, in formule:
 

 

 
Voorbeeld:   Toon aan dat de grafiek van    y = (3x - 5)/(x - 2)   symmetrisch is ten opzichte van het punt (2,3)   
 
Oplossing:

Dan moet gelden:
Als je dat door 2 deelt komt er inderdaad 3 uit!
q.e.d.
 
 
 
  OPGAVEN
       
1.
  Bewijs dat de grafiek van f symmetrisch is t.o.v. het punt  (2,1).
       
2.
  Toon aan dat de grafiek van f symmetrisch is ten opzichte van de lijn x = π.
       
3. Met domein [0, 2π] is gegeven de functie:  fp(x) = p·cosx + sin(1/2x)·cosx
Bewijs dat voor elke p de grafiek van  fp  een symmetrie-as heeft.
       
4. Voor elke waarde van p met p ≠ 0 is de functie fp gegeven door fp(x) = 3cos(px) + cos(3px) .
Het punt (π/2p , 0) is een gemeenschappelijk punt van de grafiek van fp en de x-as.
       
  a. Bewijs dat voor elke waarde van p (met p ≠ 0 ) de grafiek van fp de x-as in (π/2p , 0) raakt.
       
  b. Bewijs dat de grafiek van f1 puntsymmetrisch is in het punt (1/2π, 0).
       
5. Gegeven is de functie  f(x) = (5x + 14)/(x + 2)
Toon aan dat de grafiek van deze functie symmetrisch is t.o.v het punt  (-2, 5). 
       
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)