verdubbelingsformules

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Verdubbelingsformules.

Deze twee formules kwamen we in de vorige les tegen:

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ

Maar als je kiest β = α, dan veranderen deze formules in de volgenden (ga het zelf maar na, het is erg eenvoudig):

sin(2α) = 2sinαcosα
cos(2α) = cos²α - sin²α

Omdat ze het verband tussen de sinus en cosinus van een hoek en zijn dubbele geven, worden het wel de verdubbelingsformules genoemd.

Die van cos(2a) kun je trouwenjs ook noig anders schrijven door gebruik te maken van het feit dat cos²a + sin² a = 1
Kijk maar:

cos(2a) = cos²a - sin²a = (1 - sin²a) - sin²a = 1 - 2sin²a
en ook:
cos(2a) = cos²a - sin²a = cos²a - (1 - cos²a) = 2cos²a - 1

Zo staan ze ook op je formulekaart:

sin(2α)	= 2sinαcosα
cos(2α)	= cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α

Primitieven van sin²x en cos²x.

Je klunt de functies y = sin+2^{x en y = cos}2^{x niet direct
primitiveren.

Maar als je ze eerst met behulpo van de verdubbelingsformules anders
schrijft dan wil het wél.}
Van de verdubbelingsformules kun je namenlijk maken sin²x .... of cos²x = ..... en dan kun je wat daar op die stippeltjes staat wél primitiveren.
Kijk maar:

cos2x = 1 - 2sin²x
cos2x - 1 = -2sin²x
1 - cos2x = 2sin²x
¹/₂ - ¹/₂cos2x = sin²x

En die laatste is makkelijke te primitiveren. De primitieve is ¹/₂x - ¹/₄sin2x
En die van cos²x gaat op precies dezelfde manier.

de primitieve van f(x) = sin²x is F(x) = ¹/₂x - ¹/₄sin2x
de primitieve van f(x) = cos²x is F(x) = ¹/₂x + ¹/₄sin2x

Voorbeeld:

Gegeven is de functie f(x) = 3cos²x + 2sin²x
Bereken de exacte waarde van de oppervlakte onder de grafiek van f tussen x = 0 en x = π

Oplossing:

Tussendoortje.

Als je trouwens de integraal van sin²xtussen 0 en 2π wilt berekenen ben je natuurlijk GEK als je het via deze primitieve doet.Ik hoop dat je aan het volgende plaatje direct ziet dat daar π moet uitkomen:

Het groene en het paarse deel zijn gelijk.......

OPGAVEN

Door te schrijven cos(3α) = cos(2α + α) kun je bewijzen dat cos(3α) = cos³α - 3sin²a cosa
Bewijs dit.

Toon aan dat cos(4α) = 8cos⁴α - 8cos²α + 1

Toon aan dat cos(4α) = 1 - 8sin²α · cos²α

In een rechthoekige driehoek PQR met PQ = 12 wordt de bissectrice PS getekend. Het blijkt dat QS = 5.

Bereken PR.

Bereken de nulpunten en de extreme waarden die de functie f(x) = 2cos2x - cosx in het interval [0, 2π] heeft.

Los op in [0, 2π]: cos2x + cosx = 2

.Met domein [0, 2π] zijn de functies f en g gegeven door:
f(x) = 2cos²xen g(x) = 1 - cosx

Hiernaast zijn de grafieken van f en g getekend.

De vlakdelen ingesloten door de grafieken van f en g zijn in deze figuur aangegeven door A en B ingekleurd

Bereken de maximale lengte van een verticaal lijnstuk in het vlakdeel A.

Bereken algebraïsch de oppervlakte van het vlakdeel B.