|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Laten we beginnen met
een vierkant..... Hoezo saai? Wat is er mis met een vierkant? Sommige van mijn beste vrienden zijn vierkanten! Oké, ik geef het toe, het vierkant hiernaast is wel een beetje klein. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Vooruit dan maar, om jou een
plezier te doen zal ik het vergroten. Weet je wat, ik maak alles dubbel zo groot. Als ik alle zijden dubbel zo groot maak, en alle hoeken 90º laat, dan heb ik hetzelfde wéér een vierkant, maar nou twee keer zo groot. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Dan zijn alle lijnen in dat
vierkant, zoals de rode, gele en blauwe hiernaast, óók dubbel zo groot
geworden. Wiskundigen noemen dit een "vergroting met factor 2"
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| En toch is niet álles aan dat
tweede vierkant dubbel zo groot als aan het eerste...... Kijk maar eens naar de oppervlakte ervan! Die is niet twee keer zo groot, maar vier keer! Stel bijvoorbeeld dat het oorspronkelijke vierkant 3 bij 3 was (dus oppervlakte 9 had), dan is het vergrote vierkant 6 bij 6 en heeft oppervlakte 36. Dat is inderdaad vier keer zo groot. En als het vierkantje met factor 3 vergroot wordt, dan zou het 9 bij 9 worden, en een oppervlakte 81 krijgen: negen keer zo groot. In het algemeen; stel dat de zijden z zijn, dan is de oppervlakte z2 Als we de zijden met factor k vergroten dan worden ze kz. Dus dan wordt de oppervlakte kz • kz = k2 • z2 en dat is k2 keer zo groot als de oorspronkelijke oppervlakte. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| trouwens, ook als k tussen 0 en 1 in zit, dan hebben we te maken met een verkleining in plaats van een vergroting, maar dan blijft deze regel uiteraard gelden. We hebben in de "afleiding" ervan immers nergens gebruikt hoe groot k is? | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Hoe zit dat met andere figuren? | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De regel geldt ook voor
cirkels! Stel dat ik een cirkel vergroot met factor k. Dan worden alle lengtes k keer zo groot, dus ook de straal r (en trouwens ook de omtrek, want die is 2πr en als r vervangen wordt door kr dan wordt de omtrek 2πkr en dat is k keer zo groot). Maar de oppervlakte is πr2 en dat wordt dan π • (kr)2 = π • k2 r2 = k2 • πr2 Inderdaad alweer k2 keer de oude omtrek. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De regel geldt ook voor
de foto van mijn oma hiernaast! Als ik die zou vergroten met factor k dan wordt haar oppervlakte k keer zo groot. Dat kun je snel zó beredeneren: stel dat ik haar oppervlakte verdeel in allemaal mini-vierkantjes. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Als ik die maar klein genoeg kies dan geven die samen haar oppervlakte. Maar bij vergroten met factor k worden al die vierkantjes k keer zo groot, dus hun oppervlaktes worden allemaal k2 keer zo groot. Dus de totale oppervlakte van al die vierkantjes samen ook!!! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 't Is natuurlijk niet toevallig
dat er in de oppervlakteformules steeds twee keer een lengte voorkomt.
Als die beide lengtes k keer zo groot worden, dan wordt de
oppervlakte vanzelf k2 keer zo groot. Kijk maar: rechthoek: l • b wordt kl • kb = k2 • (lb) driehoek: 1/2 • b • h wordt 1/2 • kb • kh = k2 • (1/2 • b • h) en ga zo maar door..... Eigenlijk is dat natuurlijk ook de reden dat we een lengte uitdrukken in meter (m) en een oppervlakte in vierkante meter (m2). Zo vind ik het daarom ook altijd weer raar dat er leerlingen zijn die zeggen: "Meneer, wat was ook al weer de formule voor de oppervlakte van een cirkel? πr2 of 2πr.......?". Na het bovenstaande hoop ik dat je het logisch vindt dat dat wel πr2 móet zijn, immers dat is een formule met twee keer een lengte erin, dus die beschrijft een oppervlakte. Die andere formule heeft maar één lengte en beschrijft dus........ precies!...... Een lengte!! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Inhoud. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Natuurlijk kun je ook ruimtelijke
figuren vergroten met factor k door alle lengtes k keer zo
groot te maken. Wij weten intussen al dat de oppervlakte van de figuur
dan k2 keer zo groot zal worden. Hoe zit het met de
inhoud? Het zal je hopelijk na het voorafgaande niet verbazen dat die
wordt vermenigvuldigd met factor k3. Een inhoud is immers in kubieke meter (m3)? Reken het zelf maar na: een kubus van 3 bij 3 bij 3 heeft inhoud 27, en een dubbel zo grote kubus (van 6 bij 6 bij 6) heeft inhoud 216. Dat laatste is 8 keer zo groot inderdaad een factor 23. Samengevat: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Voorbeeld 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De gemeente Rotterdam wil graag laten zien dat de grootte van de haven
(het aantaal kg goederen dat verwerkt is) de afgelopen 50 jaar
verdubbeld is. En dat doen ze door een twee plaatjes van een schip te
laten zien waarvan alle afmetingen dubbel zo groot zijn geworden: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| "Niks aan de hand, puur eerlijk beeld
van de werkelijkheid," zeggen de reclamejongens van Rotterdam tegen
ons. We kunnen ze voor een rechter misschien inderdaad niet aanklagen,
maar toch: als je alle afmetingen van een figuur dubbel zo groot maakt,
dan wordt de inhoud 8 keer zo groot. En met hoeveelheid goederen die
verwerkt worden associëren wij nou eenmaal de inhoud van een schip! Hoeveel keer zo groot zou je de afmetingen moeten maken om wél een eerlijk plaatje te krijgen (dus een boot waarvan de inhoud het dubbele is)? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Als je een factor k kiest
voor de lengtes, dan is dat voor de inhoud een factor k3.
In dat geval moet gelden dat k3 = 2. Dan is k = 21/3 ≈ 1,26 Kortom: je moet alle afmetingen 1,26 keer zo groot maken. Dat is hiernaast gebeurd. Zoals je ziet een stuk minder spectaculair
dan eerst. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Voorbeeld 2. Ik ga een kubus zoveel vergroten dat de oppervlakte 5 keer zo groot wordt. Hoeveel keer zo groot wordt de inhoud dan? Als de oppervlakte 5 keer zo groot wordt, dan geldt dus k2 = 5, dus k = √5. Dan is k3 = (√5)3 ≈ 11,18. De inhoud wordt dus ongeveer 11,18 keer zo groot. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| OPGAVEN | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
