Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)

Voor 0 < x < π en π < x < 2π is gegeven de functie
f(x) = ¹/_sin_x
Zie de grafiek hiernaast.

Los op f(x) > -2

〈0, π〉en〈1¹/₆π, 1⁵/₆π〉

Lijn l gaat door beide toppen van de grafiek van f. Bereken de coördinaten van het snijpunt van l met de y-as

(0,2)

De grafiek van g(x) = p - sin x heeft precies één punt gemeenschappelijk met de grafiek van f.
Bereken p.

-2 of 2

Een bromfietsmotor heeft meestal één cilinder waarin een zuiger op en neer beweegt. Het verschil tussen de hoogste en de laagste stand van de zuiger is 16 cm. De zuiger gaat 80 keer per minuut heen en weer. Op t = 0 (t in seconden) bevindt de zuiger zich in het laagste punt. De hoogte van de zuiger in cm ten opzichte van de laagste stand is te beschrijven met de functie:
h(t) = 8 + 8sin(8,38t - 1,57)

Leg uit waar de constanten in deze vergelijking vandaan komen.

Bereken algebraïsch h' (2) en leg uit wat deze waarde voorstelt.

-58,25

Gegeven zijn de functies: g_p (x) = sin(px) • cos( x)

Neem p = ¹/₄ en bereken de periode van g

24π

Neem p = ¹/₃. Dan is de grafiek van g een sinusgrafiek. Bepaal een mogelijke vergelijking voor deze grafiek.

Neem p =¹/₂ en geef de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van g in het punt waarvoor x = π. Bereken indien mogelijk de getallen in je vergelijking zonder af te ronden.

y = -¹/₆√3x + ¹/₂ + ¹/₆π√3

Ik kocht op 1 januari 1999 (t = 1) een pakket aandelen Ajax. Angstvallig hield ik elke dag de waarde van mijn pakket in de gaten, en ik ontdekte dat die nogal schommelde. Ruwweg is de waarde te benaderen door de sinusoïde die hiernaast is geschetst.

Geef een formule die deze waarde (W in euro) als functie van de tijd (t in dagen) geeft.

Neem voor het vervolg van deze opgave:
W(t) = 900 + 550•sin(0,03t - 5)

Wanneer in het volgende millennium (na het jaar 2000) was mijn pakket voor het eerst €1300,- waard? Geef een algebraïsche berekening.

t = 403 - 404

Op welk tijdstip werd mijn pakket in één dag €2,- minder waard?

111, 223....

Examenvraagstuk.

We bekijken in dit vraagstuk functies van de vorm:
f(x) = sin² x + a • sinx. Daarbij is -π ≤ x ≤ π

In de figuur hiernaast zijn voor een aantal waarden van a de grafieken van f getekend.

Kleur in de figuur de grafiek die hoort bij a = ¹/₂

Bij a = 1 hoort een grafiek die in 4 punten een horizontale raaklijn heeft. Bereken de coördinaten van deze 4 punten,

(-⁵/₆π, -¹/₄) (-¹/₂π, 0)
(-¹/₆π, -¹/₄)(¹/₂π,2)

Voor elke a heeft de grafiek van f een top A bij x = 0,5π en een top B voor x = -0,5π .

Er zijn twee waarden voor a waarvoor top A tweemaal zo ver van de x-as afligt als top B. Bereken die waarden van a.

3 en ¹/₃.

Gegeven zijn de functies f(x) = sinx en g(x) = cos2x
Bereken in graden nauwkeurig de hoeken waaronder de grafieken van f en g elkaar snijden voor x tussen 0 en ¹/₂π

Toon aan dat geldt: f '(x) = -1 - (f(x))²

Stel dat f(x) = a.
Druk dan tanx uit in a.

Gegeven is dat cos(x + α) + cosx voor elke waarde van x kleiner is dan 1.
Welke waarden kan α aannemen?

Gegeven zijn op [0, π] de functies
f(x) = 3sinxcosx en g(x) = -2sin²x

Tussen de grafieken wordt een verticaal lijnstuk L getekend. Zie de figuur hiernaast.

Bereken de maximale lengte van L.

10.

11.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1990.

Voor iedere α ∈ R is gegeven de functie f_α : x → cos(x - α) - sinx met x ∈ [0, π].

Voor een waarde van α is hiernaast de grafiek van de bijbehorende f_α getekend.
Het minimum van deze f_α wordt bereikt voor x = ²/₃π.

Bereken dat minimum.

Los op: f_α(-α) = 0

12.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2012.

Op het domein [0, π] is de functie f gegeven door
f(x) = 2 - 4sin(2x).
De grafiek van f snijdt de x-as in de punten A en B. Zie de figuur.

Bereken exact de x-coördinaten van de punten A en B.

¹/₁₂π en ⁵/₁₂π

Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (0,2). Bereken exact de coördinaten van het snijpunt van l met de x-as.

(¹/₄, 0)

13.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1990.

De functie f is gegeven door f(x) = sin x + sin(2x)
op het domein [0, π].

In de figuur hiernaast is de grafiek van f getekend.
Deze grafiek snijdt de x-as tussen O(0,0) en A(π,0) in het punt B.

Bereken exact de x-coördinaat van punt B.

²/₃π

Voor elke positieve waarde van a is de functie f_a gegeven door
f_a(x) = sinx + a • sin(2x) op het domein [0, π].
In de figuur hiernaast is voor enkele waarden van a de grafiek van f_a getekend.
Voor een bepaalde waarde van a heeft de grafiek van f_a twee toppen en is de x-coördinaat van een van deze toppen ⁵/₆π .

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de x-coördinaat van de
andere top bij deze waarde van a.

0,96

14.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2013

De functie f is gegeven door f (x) = x + cosx en de lijn k is gegeven door y = x - 1. In de figuur zijn de grafiek van f en de lijn k getekend op het interval [0,14].

De grafiek van f en de lijn k hebben op het interval [0,14] twee gemeenschappelijke punten.

Bereken exact de coördinaten van deze punten.

(π, π - 1)
(3, 3π-1)

In de gemeenschappelijke punten van de grafiek van f en de lijn k raakt de lijn k aan de grafiek van f. In de onderstaande figuur zijn weergegeven de grafiek van f, de lijn k en de lijn l die is gegeven door y = x + 1.

De grafiek van f en de lijn l hebben op het interval [0,14] drie gemeenschappelijke punten en in deze gemeenschappelijke punten raakt de lijn l aan de grafiek van f.

Toon dit met behulp van exacte berekeningen en differentiëren aan.

In de figuur hiernaast zijn weergegeven de grafiek van f, de lijn k die is gegeven door y = x - 1 en de lijn m die is gegeven door y = x+ 4.

De functie g is gegeven door g(x) = x + 1¹/₂ + a • cosx .
Voor een bepaalde positieve waarde van a raken de lijnen k en m beide aan de grafiek van g.

Onderzoek voor welke positieve waarde van a dit het geval is.

2,5

15.

Gegeven is de functie f(x) = x • sinx op het domein [0,π]

Bereken de maximale helling van de grafiek van f op dit interval.

Geef algebraïsch een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt waarvoor x = ^π/₆Geef de constanten in twee decimalen. Geef algebraïsch een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt waarvoor x = ^π/₆Geef de constanten in twee decimalen.

16.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2015.

Op het domein [0, 2π] is de functie f gegeven door f(x) = sin(x) • (sin(x) + 2cos(x))
In onderstaande figuur zie je de grafiek van f.

Bepaal met behulp van differentiëren een functievoorschrift van de afgeleide functie van f. Het antwoord hoeft niet vereenvoudigd te worden.

Een functievoorschrift van de afgeleide functie f ' is ook f '(x) = sin(2x) + 2cos(2x)
Het punt A(π, 0) ligt op de grafiek van f. De raaklijn in A aan de grafiek van f snijdt de grafiek van f in het punt B.
Zie de volgende figuur.

Bereken de x-coördinaat van B in twee decimalen nauwkeurig.

3,84

17.

examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2015.

Voor elke a met -¹/₂π < a < ¹/₂π wordt de functie f_a gegeven door f_a(x) = sinx • sin(x - a) met domein [0, π].

De afgeleide van de functie f_a kan worden geschreven als f_a' (x) = sin(2x - a)

Bewijs dit.

De functie g is gegeven door g(x) = sinx met domein [0, π].

Deze twee grafieken raken elkaar in een punt met x = ²/₃π. In dat punt is de helling van beide grafieken gelijk. Er zijn nog twee andere waarden van x waarvoor de helling van de grafiek van f_π/6 gelijk is aan de helling van de grafiek van g.

Bewijs dat deze x-waarden ²/₃π van elkaar verschillen.

18.

Een man staat op afstand 12 m te kijken naar een reuzenrad met 20 stoeltjes. Zijn vrouw zit in het 13^e stoeltje als het eerste stoeltje precies onderaan het rad is. Het hoogste punt van het rad bevindt zich 80 m boven de grond en de doorsnede van het rad is 76 m. Neem aan dat de man kijkt vanaf 2 m boven de grond en dat de omwentelingstijd van het rad gelijk is aan 4 minuten.

Het rad draait in de aangegeven richting. Zie de figuur.

Noem dit moment t = 0 (t in sec) en kies als oorsprong het midden van het rad.
Dan geldt voor de plaats van de vrouw: x(t) = 38cos(^π/₁₂₀(t + 84)) en y(t) = 38sin(^π/₁₂₀(t + 84))

Toon dat aan.

Hoe snel beweegt zijn vrouw zich op dit moment naar hem toe?

19.

Examenvraagstuk HAVO, 1969

De functies f en g zijn voor 0 ≤ x ≤ π gedefinieerd door: f(x) = 1 - sinx en g(x) = cos2x

Los op de vergelijking f(x) = g(x).

De lijn x = p snijdt de grafiek van f in A en de grafiek van g in B.
De raaklijn in A aan de grafiek van f is evenwijdig aan de raaklijn in B aan de grafiek van g.
Bereken sinp.

20.

examenvraagstuk, VWO, 1971

f is de functie met [0, 2π] als domein en f(x) = x + 2cosx
g_k is de functie met [0, 2π] als domein en g_k(x) = x - 2sinx + k

Bereken de extremen van g₂.

Voor welke k raakt de grafiek van g_k aan de grafiek van f?

21.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2017-I

De functies f en g zijn gegeven door:

f(x) = ¹_/2sin(2x - ²_/3π) - ¹_/4√3
g(x) = sin(x - ²_/3π)

In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven op het interval [0, ²/₃π].
Verder is de lijn getekend met vergelijking x = p, met 0 < p < ²/₃π.
Deze lijn snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B.

De lengte van lijnstuk AB is afhankelijk van p. Voor een bepaalde waarde van p is deze lengte maximaal.
Bereken exact voor welke waarde van p de lengte van lijnstuk AB maximaal is.

⁴/₉π

22.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2021-III.

Op het domein [-½π, 1½π] worden de functies f en g gegeven door:

f(x) = sin(x)cos(2x)
g(x) = 2 + sin(x)

In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven. De verticale lijn met vergelijking x = p snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B.
We bekijken de raaklijn aan de grafiek van f in A en de raaklijn aan de grafiek van g in B.

In de figuur is een waarde van p gekozen waarvoor de twee raaklijnen elkaar loodrecht snijden. Er zijn meerdere waarden van p waarvoor dit het geval is.
Bereken exact het aantal waarden van p waarvoor de twee raaklijnen elkaar loodrecht snijden.

acht

23.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2022-I

De functie f is voor −π < x < π gegeven door:

De functie g is gegeven door g(x) = sin(x). In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven.

Bewijs dat de grafieken van f en g elkaar in twee punten raken.