© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Bereken voor de volgende parameterkrommen algebraïsch de coördinaten waar de raaklijn evenwijdig aan de x-as of aan de y-as is. Bereken vervolgens ook algebraïsch de coördinaten van de snijpunten met de x-as en de y-as.
Probeer aan de hand van de gevonden punten de krommen te schetsen zonder je GR.
Controleer daarna met de GR je berekeningen.
       
  a. x(t) = cos(2t)  en  y(t) = cost + sint
       
  b. x(t) = cost - √3 • sint  en   y(t) = cost + √3 • sint
       
  c. x(t) = 2t - t2   en   y(t) = t2 - 4t + 3
       
  d. x(t) = 4sin3t - 9sint   en   y(t) = sin(2t)
       
De kromme K wordt gegeven door:
 

       
  De grafiek ervan lijkt een soort berglandschap:
 

       
  a. Onderzoek of er punten zijn waar de raaklijn evenwijdig aan de y-as is.
       
  b. Bereken de horizontale afstand tussen twee opeenvolgende toppen van dit berglandschap.
       
De Nephroïde  (niervormige kromme) wordt gegeven door:

   
 

     
 

De  figuur staat hiernaast.
Er past een rechthoek met zijden evenwijdig aan de x-as en y-as  precies om deze figuur.

Bereken de oppervlakte van die rechthoek.
     
       
4. Veel mensen gebruiken Valentijnsdag om elkaar een (al dan niet anonieme) liefdesverklaring te sturen. Het betreft dan meestal een kaartje met een hart erop. Maar échte wiskundigen sturen elkaar natuurlijk niet zo'n onpersoonlijk kaartje; nee, als ze écht verliefd op elkaar zijn dan mailen ze elkaar een cardioïde!!!!

De cardioïde (hartvormige kromme van het Griekse kardioeides:, want kardia =  hart  + eidos = vorm) staat hiernaast getekend en heeft vergelijkingen:

     
 

       
  Het aparte aan een cardioïde is dat, welke helling je ook kiest, er altijd drie punten zijn waar de kromme die helling heeft!

Bereken de coördinaten van de zes punten waar de cardioïde een raaklijn evenwijdig aan de x-as of aan de y-as heeft.

P.S.
De cardioïde lijkt niet écht op een hart natuurlijk. Hij heeft bijv. maar één scherpe punt. 't Is meer een soort pruim. Wil je een betere hartvorm naar je geliefde sturen, neem dan bijvoorbeeld:
       
5. Het "folium" (= blaadje) van Descartes ziet eruit als hiernaast.
De vergelijkingen die erbij horen zijn:

Bereken algebraïsch de coördinaten van de punten waar de raaklijn aan deze kromme evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
Hoe zit het met (0,0)?
Daar lijkt de raaklijn ook evenwijdig aan de y-as.  Waarom vind je dat dan niet?

       
6. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2013.

Voor 0 ≤ t ≤ 2p wordt de beweging van een punt P beschreven door de bewegingsvergelijkingen;

     
 
     
  In de figuur hiernaast is de baan van P getekend.
Voor t = 0 en t = 2π bevindt P zich in (1, 0) .
       
  a. Bereken exact de maximale waarde van de y-coördinaat van P.
       
  De lijn met vergelijking x = 1 snijdt de baan van P behalve in het punt
(1, 0) ook in de punten (1, a) en (1, -a) , met a > 0 .

Zie de figuur hiernaast.

     
  b. Bereken exact de waarde van a.
       
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)