© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Schets één periode van de grafiek van de volgende functies:
       
  a. y = sin0,5(x - π) d. f(x) =  -1/3cos(2x + 1/2π)
         
  b. y = 2cos3x - 4 e. f(x) = 5 + 3sin(x - 2)
         
  c. y = 2cos3x - 4 f. y = 3 - 2sin(x + 1/3π)
         
Gegeven zijn de functies f (x) = 4 + 3cos(0,25p(x - 1))  en  g(x) =  -2 + 3sin(0,1px)
Hieronder zie je dat de grafieken van f en g elkaar lijken te raken in een punt P
       
 

       
  a. Toon algebraïsch aan dat dat inderdaad zo is.
       
  b. Noem nog een paar raakpunten van deze grafieken.
       
examenopgave HAVO wiskunde B, 2016-II
Op het domein   [0, 5/2π]  zijn gegeven de functies:
f(x) = 2cos(1/2x - 1/8π)  en  g(x) = sin(x - 1/4π)
De lijn k die door de toppen van de grafiek van f gaat, gaat ook door de toppen van de grafiek van g. Zie de figuur.
Toon dat aan.
       
 

       
Gegeven is de functie  f(x) =  3sin(0,4px - 1,2p))  met domein  [21/2, 6]
Hieronder zie je de grafiek van f(x).
       
 

       
  De grafiek lijkt wel wat op een bergparabool, vind je niet?
  Geef de vergelijking van de parabool die dezelfde top en nulpunten heeft als de grafiek van f(x)
       
     
5. Een slak zit op een oude draaiende grammofoonplaat.  Hieronder zie je dat schuin van boven gezien, en ook een zijaanzicht.
       
 

       
  De doorsnede van de plaat is 35 cm, en we beschouwen in deze opgave het punt P waar het midden van de slak de plaat raakt. Op t = 0 bevindt de slak zich aan de rechterkant op afstand 11 cm vanaf het midden M, dus PM = 11. De plaat is een 33-toeren plaat, dat betekent dat hij per minuut 33 omwentelingen maakt.

In het zijaanzicht  zien we de slak heen en weer gaan. Als we de afstand van P tot M gelijk aan x noemen (links negatief, rechts positief) dan blijkt te gelden:    x(t) = 11 • sin(3,46(t  - 1,36))  (t in seconden)
       
  a. Schets de grafiek van x(t), en leg daarmee duidelijk uit waar de getallen 3,46 en 1,36 uit de formule vandaan komen.
       
  b. Welk getal uit de formule zal veranderen als de slak naar het midden van de plaat toe kruipt? Hoe verandert dat getal?
       
  c. Welk getal uit de formule zal veranderen als de slak gaat meekruipen in de draairichting van de plaat? Hoe verandert dat getal?
       
  d. Welk getal uit de formule zal veranderen als de plaat de andere kant op zou draaien? Hoe verandert dat getal?
       
6. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2006.

Bij een stemvork die in trilling gebracht wordt, maken de uiteinden zeer snelle heen en weergaande bewegingen rond de evenwichtsstand. De afstand van een uiteinde tot deze evenwichtsstand heet de uitwijking. De grafiek van de uitwijking y, afhankelijk van de tijd t, is een sinusoïde. De trilling van de stemvork brengt de lucht in trilling. Dit horen wij als geluid.
Van twee stemvorken A en B krijgt men met behulp van een oscilloscoop de grafiek van het trillingspatroon. In de figuur rechts staat de grafiek voor stemvork A.
  Bij deze grafiek hoort de formule:

Stemvork A:  y = 0,28 • sin(0,88πt)

Hierin is t de tijd in milliseconden (1 milliseconde is 0,001 seconde) en y de uitwijking in millimeters.
De trilling van stemvork A begint op t = 0.
     
  a. Bereken het aantal trillingen per seconde voor stemvork A.
       
  Als de frequentie groter wordt wordt de toon hoger.
Als de amplitude (maximale uitwijking) groter wordt, wordt het geluid harder.

Voor stemvork B geldt de formule:   Stemvork B:   y = 0,14 • sin(0,88π(t - 0,5))

De beide stemvorken klinken dus even hoog, maar stemvork B klinkt zachter dan stemvork A.
Een derde stemvork C:
• klinkt hoger dan de stemvorken A en B.
• klinkt harder dan stemvork B, maar zachter dan stemvork A.
       
  b. Stel een mogelijke formule op voor de trilling van stemvork C.
       
7. examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2016-I

 Van de maan is ook bij een wolkeloze hemel niet altijd een even groot gedeelte zichtbaar. Het percentage van de maan dat zichtbaar is, verloopt bij benadering periodiek. Voor het jaar 2017 is dit percentage in Nederland te benaderen met de formule:

P = 50 + 50sin (0,212769t - 1,042563)

Hierin is P het percentage van de maan dat zichtbaar is en t is de tijd in dagen met t = 0 op 1 januari 2017 om 0:00 uur.
       
  a. Bereken de periode van P in hele minuten nauwkeurig.
       
  De vorm van het zichtbare gedeelte van de maan wordt de schijngestalte van de maan genoemd. Vier speciale schijngestalten zijn nieuwe maan, eerste kwartier, volle maan en laatste kwartier. Zie de figuur, waarin ze op volgorde staan afgebeeld, elk met het bijbehorende percentage van de maan dat zichtbaar is.
       
 

       
  De volgorde waarin deze schijngestalten voorkomen, is dus altijd: eerst nieuwe maan, dan eerste kwartier, dan volle maan en daarna laatste kwartier. Daarna volgt opnieuw nieuwe maan, enzovoort.
       
  b. Onderzoek met behulp van de formule voor P tussen welke twee opeenvolgende schijngestalten de maan zich op 22 februari 2017 zal bevinden
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)