Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Hieronder staan 4 sinusoïden.
Geef bij elke grafiek een mogelijke formule met sinus, en ook eentje met cosinus.

Een sinusgrafiek heeft een maximum bij (2,4) en een minimum bij (5,-2)
Bereken het snijpunt met de y-as.

Geef twee verschillende mogelijkheden.

Gegeven zijn de volgende formules: y₁ = 3 - 2·sinx en y₂ = 5·cosx - 1 en y₃ = y₁ + y₂Geef een formule voor y₃ van de vorm y₃ = a + b·sin c(x - d)

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2022-II

De functies f en g worden gegeven door:

f(x) = 1 + 3sin(2x)g(x)= 1 + 3cos(2x)
Het punt P is de eerste top van de grafiek van f rechts van de y-as en het punt R is de eerste top van de grafiek van g rechts van de y-as. Zie de figuur hiernaast, waarin ook het lijnstuk PR getekend is

Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk PR. Geef je eindantwoord in twee decimalen

De grafiek van de somfunctie h(x) = f(x) + g(x) blijkt ook een sinusoïde te zijn. Zie de figuur hiernaast.

Het functievoorschrift van h is te schrijven als:
h(x) = p + q • cos(r(x - s))

Bereken mogelijke waarden van p, q, r en s. Geef je eindantwoorden, indien nodig, in twee decimalen.

In een ziekenhuis wordt onderzoek gedaan naar de longinhoud van patiënten en hun ademhaling. Na enig onderzoek blijkt dat de hoeveelheid lucht (L in dm³) die in de longen zit als functie van de tijd (t in sec) een sinusverloop heeft.
Bij een proefpersoon blijken de longen bij volledige inademing 4,5 dm³lucht te bevatten en bij volledige uitademing is er nog 0,5 dm³ achtergebleven in de longen.
Deze proefpersoon ademt per minuut 20 keer in en uit.
Op tijdstip t = 0 bevinden de longen zich in volledig uitgeademde toestand.

Geef een functievoorschrift van L als functie van t.

Hoeveel seconden duurt het vanaf t = 0 totdat er 1,5 dm³ lucht in de longen zit?

De proefpersoon gaat nu op een hometrainer zitten en fietsen, waardoor zijn ademhalingsritme oploopt tot 35 keer per minuut. Zijn maximale en minimale longinhoud veranderen niet.

Geef een nieuw functievoorschrift voor L(t). Neem weer L(0) = 0,5.

In de volgende tabel staan de tijden van zonsopkomst en zonsondergang in 2011. (de tijden zijn gegeven in Midden-Europese-Tijd (MET), dus van april tot en met oktober was het vanwege de zomertijd op onze klokken een uur later)

dagnummer

121

152

182

213

244

274

305

335

datum

1 jan.

1 feb.

1 mrt.

1 apr.

1 mei

1 jun.

1 jul.

1 aug.

1 sep.

1 okt.

1 nov.

1 dec.

zonsopkomst

8:48

8:21

7:27

6:16

5:11

4:26

4:24

5:01

5:51

6:40

7:34

8:25

zonsondergang

16:39

17:27

18:19

19:13

20:04

20:50

21:03

20:31

19:28

18:18

17:12

16:32

De grafiek voor zonsondergang staat hieronder en is, zoals je ziet, aardig door een sinusgrafiek te benaderen..

Geef een sinusformule die de grafiek hierboven beschrijft.

Het tijdstip van zonsopgang is ook aardig door een sinusformule te beschrijven. De vroegste zonsopgang was op 30 juni, en dat was om 4:19. De laatste zonsopgang was op 30 december, en dat was om 8:48.

Geef een sinusformule voor het tijdstip van zonsopgang.

De daglengte is gelijk aan het verschil tussen zonsopgang en zonsondergang.

Plot de grafiek van de daglengte, en schrijf vervolgens de daglengte D als D = a + bsinc(x + d) waarbij x het dagnummer is.

examenopgave VWO wiskunde A, 2018-I.

Op de foto zie je een doorgezaagde boomstam. Hierin zijn zogenaamde jaarringen te zien. Deze ontstaan doordat de boom in de zomer snel groeit: dan wordt er licht gekleurd hout gevormd.
In de winter groeit de boom langzaam en wordt er donker gekleurd hout gevormd. Zo komt er elk jaar een ring bij, die uit een licht en een donker gedeelte bestaat: een jaarring.

In deze opgave kijken we eerst naar de groeisnelheid van de diameter (G) van een grove den. Omdat een boom afwisselend snel en langzaam groeit, kun je deze groeisnelheid modelleren met behulp van sinusoïden.

Voor de groeisnelheid van de diameter van een grove den gelden de volgende eigenschappen:

de groeisnelheid is drie maanden na het ontkiemen van het zaadje maximaal;

de groeisnelheid is negen maanden na het ontkiemen minimaal;

dit patroon herhaalt zich elk jaar;

de maximale groeisnelheid is 2,1 cm per jaar;

de minimale groeisnelheid is 0,3 cm per jaar.

Voor de groeisnelheid van de grove den kun je op basis van deze eigenschappen een formule opstellen van de vorm
G = a + bsin(c(t - d)) .

Hierin is G de groeisnelheid in cm per jaar en t de tijd in jaren na het ontkiemen.

Bereken de waarden van a, b, c en d in deze formule. Licht je antwoord toe.

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde-B 2023-I

In deze opgave bekijken we het longvolume. Dit is de hoeveelheid lucht in de longen van de mens.
In onderstaande figuur is voor een bepaalde persoon in rust weergegeven hoe dit longvolume V afhangt van de tijd. Hierbij is V in mL en t de tijd in seconden.

Deze grafiek is te beschrijven met een formule van de volgende vorm:

V = p + q · cos(rt)

Bereken de waarden van p, q en r. Geef niet-gehele waarden in je eindantwoord in twee decimalen.

Als een persoon zich inspant, zal hij sneller gaan ademen. Ook ademt hij elke keer méér lucht in dan wanneer hij in rust is. Voor iemand die zich inspant, geldt:

V = 2500 + 1200 · sin(4,19(t - 0,37))

Hierin is V het longvolume in mL en t de tijd in seconden.
De hoeveelheid lucht die deze persoon elke keer inademt, is gelijk aan het verschil tussen het maximum en het minimum van V. Gedurende één minuut ademt deze persoon meerdere keren in. In totaal ademt hij dan bijna 100 liter lucht in.

Bereken hoeveel liter lucht deze persoon per minuut inademt. Geef je eindantwoord als geheel getal.

De originele boekklok hiernaast heeft een uurwijzer, een minuten wijzer en een secondewijzer.
Deze wijzers zitten vast in een draaipunt P dat op 15 cm vanaf de bodem zit.
De lengte van de uurwijzer is 10 cm, van de minutenwijzer 13 cm en van de secondewijzer 14 cm.

We bekijken in deze opgave de hoogte H (in cm vanaf de bodem) van het uiteinde van een wijzer als functie van de tijd t (in uren).

Op t = 0 is het precies drie uur.

Geef een formule voor H(t) voor elk van de drie wijzers.