Omgekeerd evenredig.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Voorbeeldje uit de natuurkunde:

Als je een batterij van 6 Volt hebt, en je sluit daar een weerstand R op aan, dan gaat er een stroom I doorheen lopen. Daarbij geldt de volgende formule (de "wet van Ohm"):

I • R = 6
Hieronder staat een tabel met verschillende waarden van I en R, en ernaast een grafiek van I als functie van R.
R 0,2 0,5 1 2 3
I 30 12 6 3 2

In deze tabel en ook in deze grafiek is te zien dat de grootte van I en van R  van elkaar afhangen, maar "omgekeerd"; Als R groter wordt, wordt I juist kleiner en andersom. Dat moet ook wel, want met elkaar vermenigvuldigd moet het steeds 6 opleveren.
Dat is in de grafiek ook te zien: naar rechts neemt R toe, en daalt I.

De formule voor I  zou worden  I = 6/R , en een formule van deze vorm heet een  omgekeerd evenredig verband tussen I en R:

y is omgekeerd evenredig  met x  als geldt:    y = a/x  (met a een constante)
1. Hier staat een tabel van een verband waarbij y omgekeerd evenredig is met x
Geef een formule en vul de tabel verder in
x 5 8 16 38 76 90 ...
y 304 190 95 40 20 ... 8

 
2. De "4 mijl van Groningen" is een jaarlijks terugkerend evenement waarbij duizenden deelnemers een afstand van 4 mijl (6437 meter) hardlopen. Chris is één van deze lopers. Hij heeft de 4 mijl in 2006 gelopen in 28 minuten en 15 seconden en in 2007 deed hij er 27 minuten en 50 seconden over.
Hij berekent dat zijn gemiddelde snelheid in die twee jaren gelijk was aan 13,67 en 13,88 km/uur.
a. Controleer die berekeningen.
Hiernaast staat een grafiek met voor elke gelopen tijd (in minuten) de bijbehorende snelheid (in km/uur).
b. Geef een formule voor die grafiek en bereken daarmee welke tijd Chris moet lopen om een gemiddelde van 15 km/uur te halen.

25' 45''
Chris is steeds meer en meer lange-afstandslopen gaan doen. Voor zijn trainingen heeft hij voor een aantal afstanden een grafiek als hierboven gemaakt. Die grafieken zie je in de figuur hiernaast. 
c. Geef voor elk van die grafieken een formule en leg uit bij welke gelopen afstand de betreffende grafiek hoort.
3. Wetenschappers hebben tussen 1990 en 2000 het aantal hazen in het oostelijke deel van Schiermonnikoog gemeten. Hazen doen het goed op Schiermonnikoog omdat er op het eiland niet veel natuurlijke vijanden van de haas wonen. Het aantal hazen in het zeshonderd hectare grote gebied schommelde gedurende de onderzoeksperiode tussen de 320 en 596. 
De leefruimte (L) per haas is de oppervlakte (in m2) die een haas gemiddeld tot zijn beschikking heeft.
     
a. Tussen welke grenzen varieerde de leefruimte van een haas in de onderzoeksperiode?
   

1.007 - 1.875'
b. Geef een formule voor de leefruimte per haas als functie van het aantal hazen (n) bij dit onderzoek.
   

L = 600/n
c. Iemand beweert:  "Als het aantal hazen met 10% toeneemt, dan neemt de leefruimte met 10% af".
Onderzoek of deze bewering inderdaad klopt.
   

NEE
d. Iemand anders beweert: "Als het aantal hazen verdubbelt, dan halveert de leefruimte".
Onderzoek of deze bewering inderdaad klopt.
   

JA
4. De elektrische weerstand (R) van een koperdraad met lengte 10 meter is omgekeerd evenredig met de oppervlakte van de doorsnede (A in mm2). de volgende tabel blijkt te gelden:
doorsnede A (in mm2) 4 10 12 20 30 56 120
weerstand R (in Ohm) 0,0425 0,0170 0,00142 0,00850 0,00567 0,00304 0,00142
a. Geef een formule voor R.
   

R = 0,17/A
b. Voeg aan de tabel een derde rij toe waarin R • A staat.  Wat valt op?
Leg uit waarom dat bij omgekeerd-evenredige formules altijd het geval is.
Bij een bepaalde doorsnede is de weerstand van zo'n draad recht evenredig met de lengte ervan (in m). 
Voor een draad met doorsnede 4 mm2  geldt de volgende tabel:
lengte L (in m) 1 3 5 8 10 15 30
weerstand R (in Ohm) 0,00425 0,01275 0,02125 0,03400 0,04250 0,06375 0,12750
c. Geef de formule voor de weerstand R als functie van de lengte L bij een draad van doorsnede 4 mm2 
   

R = 0,00425L
  d. Geef een formule voor de weerstand R als functie van de lengte L en de doorsnede A.
     
5. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1990
     
  In een natuurgebied staat het grondwater op een diepte van 90 cm (zie de figuur)
Op een hoogte van 10 cm boven de grondwaterstand is het vochtgehalte van de grond ongeveer 32%. Hoe groter de hoogte boven de grondwaterstand hoe kleiner het vochtgehalte van de grond wordt. Zo is op een hoogte van 80 cm boven de grondwaterstand het vochtgehalte afgenomen tot 4%.
Het verband tussen de hoogte boven de grondwaterstand en het vochtgehalte wordt weergegeven door de formule:

H • p = 320

Hierin is H de hoogte boven de grondwaterstand, uitgedrukt in cm en p het vochtgehalte, uitgedrukt in procenten.
De formule is bruikbaar voor 10 ≤ H ≤ 80.
     
  a. Teken in de figuur hiernaast een grafiek van het verband tussen H en p.

     
  Men wil een beplanting aanbrengen waarvan de wortels op hun maximale diepte een vochtgehalte tussen de 5% en 10% nodig hebben.
     
  b. Bereken welke hoogten boven de grondwaterstand in aanmerking komen.
   

32- 64 cm
  De grondwaterstand in het natuurgebied wordt 30 cm omhoog gebracht. Het verband tussen de hoogte en het vochtgehalte blijft hetzelfde als in de oude situatie.
     
  c. Bereken het nieuwe vochtgehalte van de grond op een diepte van 40 cm.
     

16%
6. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2023-I

In onderstaande figuur is voor het jaar 2017 het verband tussen de gemiddelde prijs (P) van het mobiele dataverbruik en het verbruik (V) per simkaart per maand weergegeven.
       
 

       
  In deze figuur is te zien: hoe hoger de prijs in een bepaald land is, hoe lager het dataverbruik. Bij de trendlijn hoort een omgekeerd evenredig verband.

Stel een formule op van dit verband.
       
Omgekeerd evenredig met iets anders dan x.
Nou simpel, dan staat daar in plaats van x gewoon iets anders.
Bijvoorbeeld:
•    "y is omgekeerd evenredig met x + 4",   betekent dat  y = a/(x + 4)
•    "y is omgekeerd evenredig met √x",   betekent dat  y = a/√x
•    "y is omgekeerd evenredig met  x2 " ,  betekent dat  y = a/x²   
7. Hier staat een tabel van een verband waarbij y omgekeerd evenredig is met x3
Geef een formule en vul de tabel verder in.
x 1,3 2,0 4,8 7,2 12 15 ...
y 241 66 4,8 1,4 0,31 .... 0,05

y = 530/x³
(15, 0.16) en (0.05, 22)
8. Als je verder van een lamp afstaat, dan zie je het licht minder fel. Dat is logisch, toch? De lichtintensiteit (L) van een lamp varieert omgekeerd evenredig met de afstand in het kwadraat.
Voor een bepaalde lamp geldt de formule:  I = 5,4/r²
Daarin is I de lichtintensiteit (in candela per m2; cd/m2) en r de afstand (in meters).
a. Op welke afstand zal de intensiteit gelijk zijn aan  0,5 cd/m2  ?
   

3,29 m
b. Waarom kan deze formule voor erg kleine afstanden nooit de goede zijn?
     
c. Wat gebeurt er met de lichtintensiteit van een lamp als de afstand verdubbelt?
   

4× zo klein

d. Ik kijk naar een lamp terwijl ik naar achteren loop, en ik merk dat als ik twee meter naar achteren ben gegaan, dat dan de intensiteit van de lamp gehalveerd is. Hoe ver stond ik van de lamp af?
   

4,83 m
9. De ademhaal-snelheid A (aantal ademhalingen per minuut) van een dier in rust blijkt omgekeerd evenredig te zijn met G0,26  waarbij G zijn gewicht in kilogrammen is.
Een Kodiakbeer weegt gemiddeld  700 kilo en haalt per minuut 9,7 keer adem.
Een  konijn weegt gemiddeld 3 kilo.
Hoeveel keer per minuut zal een konijn ademhalen?
 

40 keer
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)