primitiveren

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Nog maar een paar primitieven.

Dit wordt één van de makkelijker en ook kortere lesjes uit deze serie.
Misschien zelfs wel een onnodig lesje, want we gaan een paar primitieven bekijken die je zelf waarschijnlijk ook wel kunt vinden.
Het draait allemaal uiteraard om de volgende regel:

F is een primitieve van f ⇔ F' = f

In "normaal" Nederlands:
"Als je de primitieve van een functie f zoekt, dan zoek je een functie waarvan f de afgeleide is"

(alhoewel, nu ik dit noteer realiseer ik me dat veel mensen dit waarschijnlijk geen normaal Nederlands zullen vinden.)
De primitieve van xⁿ hebben we al behandeld. Laten we de regel op drie nieuwe functies gaan toepassen.

De primitieve van f(x) = sinx

Oké, de vraag is dus eigenlijk: "van welke functie is sinx de afgeleide?"
Je kunt je misschien nog wel herinneren dat sin en cosx een "soort van" elkaars afgeleides waren. "Soort van", omdat het soms een minteken scheelt.
Is F(x) = cosx misschien de primitieve van f(x) = sinx?
Als dat zo is, dan zou de afgeleide van cosx gelijk moeten zijn aan sinx, maar dat is niet zo! Die afgeleide is -sinx.
Nou, da's makkeljik te repareren: zet er gewoon een mintelen bij, en alles komt goed!

de primitieve van f(x) = sinx is F(x) = -cosx

En voordat ik weer boze emails krijg van mensen die "wel weten waar ik woon": daar moet natuurlijk eigenlijk staan F(x) = -cosx + c want de primitieve is op een constante na bepaald.
Nou, laten we dan meteen maar de primitieven van f(x) = cosx doen.

de primitieve van f(x) = cosx is F(x) = sinx

Je ziet dat hier het minteken niet nodig is, want de afgeleide van sinx is gewoon cosx (zonder minteken). En ook hier weer op een constante c na bepaald natuurlijk.

De primitieve van f(x) = g^x

Tja: van welke functie is g^xde afgeleide??????Nou, om eerllijk te zijn.....g^x lijkt nogal op zijn EIGEN afgeleide!!!!
De afgeleide van g^xis namelijk g^x • lng en die lng is natuurlijk gewoon een constante. Dus g^x is op een constante na gelijk aan zijn eigen afgeleide.
Als je de functie f(x) = (¹/_lng) • g^x neemt, dan valt die constante bij het differentiëren weg en hou je vanzelf g^xover.

En daarbij hebben we dan direct het speciale geval van g = e. Dan is lng = lne = 1 en is de functie gelijk aan zijn eigen primitieve (en dus ook aan zijn eigen afgeleide)

De primitieve van f(x) = e^x is F(x) = e^x

Hoogste tijd om deze nieuwe primitieven te gaan toepassen in wat opgaven.

OPGAVEN

Hiernaast zie je een deel van de grafiek van
y = cosx met daarbij de raaklijn
in x = 0,5π.

Bereken de exacte waarde van de oppervlakte van het gekleurde gebied.

De grafieken van y = e^x - 4 en y = 16 - e^2x en de y-as sluiten een vlakdeel V in.

Bereken algebraïsch de oppervlakte van V.

De functies f en g zijn gegeven door
f(x) = sinx en g(x)= sin(x + ¹/₆π).

In onderstaande figuur zijn de grafieken van f en g getekend op het domein [0,2π].

De grafieken van f en g snijden elkaar op dit domein bij x = ¹/₃π in het punt A en bij x = ⁴/₃π in het punt B.

V is het vlakdeel dat tussen A en B wordt ingesloten door de grafieken van f en g.
Bereken met behulp van primitiveren de oppervlakte van V.

De functies f en g worden gegeven door f(x) = 9 - e^-x
en g(x) = 4(1 + e^x).

In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven.

De grafieken van deze functies sluiten een vlakdeel in. In de figuur is dit vlakdeel blauw gemaakt.

Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.

De grafieken van f(x) = 4^x en g(x) = 256 · 0,25^x en de y-as sluiten een vlakdeel V in.
Bereken algebraïsch de oppervlakte van V.