| |
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
Snijpunten bij cirkels. |
|
 |
Deze les gaan we bekijken hoe je
snijpunten van cirkels met andere grafieken kunt berekenen. Dat gaat
ietsje anders dan normaal een snijpunt van twee grafieken, en dat komt
omdat je van een cirkel niet een vergelijking van de vorm y
= ...... hebt.
Een cirkelvergelijking is geen functie!!!
Hoe moet het wel?
We gaan twee gevallen bekijken (die trouwens eigenlijk hetzelfde zijn)
In beide gevallen is het toverwoord: |
| |
|
|
|
| |
|
1. Het snijpunt van een cirkel met
een rechte lijn.
Het snijpunt van een cirkel met een rechte lijn is vrij makkelijk te
vinden.
Eerst maak je van de vergelijking van de lijn y = ...... of
x = ....... (meestal staat dat er trouwens al).
Daarna vervang je (Substitutie) de y of x van de
cirkelvergelijking door wat daar op die stippeltje staat. |
| |
|
Voorbeeld 1.
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn y = 2x
- 3 met de cirkel (x + 3)2
+ (y - 1)2 = 100
Oplossing:
y = 2x - 3 substitueren geeft (x + 3)2
+ (2x - 3 - 1)2 =
100
⇒ x2 + 6x + 9
+ 4x2 - 16x + 16
- 100 = 0
⇒ 5x2 - 10x
-
75 = 0
⇒ x2
- 2x - 15 = 0
⇒ (x - 5)(x + 3) = 0
⇒ x = 5 ∨
x = -3
Dat geeft de snijpunten (5, 7) en (-3, -9). |
|
| |
|
Voorbeeld 2.
Berken de coördinaten van de snijpunten van de lijn 2x
+ 5y = 44 met de cirkel x2
+ y2 + 6x -
4y = 48
Oplossing:
2x + 5y = 44
5y = 44 - 2x
y = 8,8 - 0,4x
Invullen in de cirkelvergelijking:
x2 + (8,8 - 0,4x)2
+ 6x - 4(8,8
- 0,4x) = 48
x2 + 77,44 -
7,04x + 0,16x2 + 6x
- 35,2 + 1,6x = 48
1,16x2 + 0,56x
- 5,76 = 0
x = (-0,56 ±
√27,04)/2,32 = (-0,56
± 5,2)/2,32
x = 2 ∨ x = -72/29
Dat geeft de snijpunten (2, 8) en (-72/29,
284/29)
|
|
| |
|
Kan er nog iets misgaan?
Meestal als dat gevraagd wordt kan er inderdaad iets misgaan.....
Het zou namelijk kunnen dat de kwadratische vergelijking die je krijgt
geen oplossingen heeft, omdat de discriminant ervan kleiner dan nul is.
Maar dat is maargoed ook!!
Een lijn en een cirkel hoeven immers niet altijd snijpunten te hebben?
Als de kwadratische vergelijking die je krijgt geen oplossingen heeft
dan betekent dat simpelweg dat er geen snijpunten zijn!
We zullen daar in een latere les nog uitgebreid aandacht aan besteden. |
| |
|
|
2. Het snijpunt van een cirkel met
de grafiek van een andere functie. |
| |
|
| Nou ja, dat gaat precies hetzelfde: |
|
|
|
| |
|
Vul de vergelijking van die
andere functie in bij de cirkelvergelijking.
Dan hou je iets over dat je hopelijk op kunt lossen.
Vaak worden die vergelijkingen dan te moeilijk, maar dan kun je
natuurlijk altijs nog de optie "intersect" van je GR te hulp roepen. |
| |
|
Voorbeeld 3.
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van
y = 2√x met de cirkel x2
+ y2 - 12x
- 4y + 15 = 0
Oplossing:
y = 2√x invullen in de cirkelvergelijking:
x2 + (2√x)2
- 12x
- 8√x + 15 = 0
x2 + 4x -
12x - 8√x + 15 = 0
Te moeilijk om algebraïsch op te lossen......
In de GR:
Y1 = X2 + 4X - 12X
- 8√X + 15
calc - zero geeft X = 9 ∨ X = 1De
snijpunten zijn (1, 2) en (9, 6) |
|
| |
|
| |
|
|
|
OPGAVEN |
| |
|
|
|
| 1. |
Bereken algebraïsch de coördinaten
van de volgende snijpunten: |
| |
|
|
|
| |
a. |
de cirkel (x
- 2)2
+ (y - 5)2 = 10 met de lijn y
= 20 - 3x |
| |
|
|
|
| |
b. |
de cirkel x2
+ y2 + 4x -
6y = -9 met de
lijn y = 2x + 9 |
| |
|
|
|
| |
c. |
de cirkel x2 + 4x
= 28 - y2
- 4y met de lijn
y = -4x + 14 |
| |
|
|
|
| 2. |
Welk punten van de lijn
y = 4x + 2 hebben afstand
√340
tot het punt (2,12)? |
| |
|
|
|
| 3. |
De lijn 2y
- x = 5 en de cirkel
x2 + y2
- 12x - 2y = -12
snijden elkaar niet. |
| |
|
|
|
| |
a. |
Toon dat algebraïsch
aan |
|
| |
|
|
|
| |
b. |
Bereken in
twee decimalen nauwkeurig de kleinste afstand van de lijn tot de
cirkel. |
| |
|
|
|
| 4. |
Een cirkel
heeft middelpunt (-3, 4) en straal 4
De grafiek van f(x) = 10 -
x2 snijdt deze cirkel in de punten P
en Q
Berken de afstand PQ in twee decimalen nauwkeurig. |
| |
|
|
|
 |
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
| |
|
|
|
|