Sinusoïden optellen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Wat zou er gebeuren als we twee verschillende sinusoïden bij elkaar optellen?

Verschillende amplitude of evenwichtslijn is nogal saai, kijk maar: 

•  2sinx + 4 sinx  geeft samen natuurlijk  6sinx
•  (3 + sinx) + (7 + sinx)  geeft samen natuurlijk  10 + sinx

Maar hoe is het als de periode verschilt? Of als de grafieken horizontaal zijn verschoven?

Interessant!!
Laten we gewoon met onze rekenmachine uitproberen wat er gebeurt:

A. Dezelfde periode:

De formules de hier bij elkaar worden opgeteld  verschillen in allerlei opzicht van elkaar. De amplitudes en horizontale verschuivingen en evenwichtslijnen zijn  verschillend. Toch zie je dat de opgetelde formules steeds gewoon een "normale" sinusoïde opleveren. 
Als je goed kijkt in bovenstaande grafieken ontdek je misschien zelfs dat de periode van die gezamenlijke grafiek hetzelfde is als die van de afzonderlijke grafieken. 
Dat is natuurlijk logisch: als de grafiek van f  bij x + p hetzelfde is als bij x en de grafiek van g is bij x + p ook hetzelfde als bij x, dan is de grafiek van f + g ook hetzelfde; als je twee dezelfde dingen bij elkaar optelt krijg je nou eenmaal hetzelfde! 

(In wiskundetaal:  yf+g(x + p) = yf (x + p) + yg(x + p) = yf (x) + yg(x) = yf + g(x)  waarbij p de periode is). 
Conclusie:  
 

twee sinusoïden met dezelfde periode geven wéér een sinusoïde met die periode.
1. Onderzoek met je rekenmachine welke formule  y = a + bsinc(x + d) er bij de volgende functies hoort:  
         
a. f(x) = 2 + 3sinx - sin(x - 2) d. f(x) = 1 - cos(3x) + cos(3x + 4)
b. f(x) = sin(4x - 1) + sin4(x - 2) e. f(x) = cos(2x) + 2sin(2x + 5)
c. f(x) =  cos(2x + 3) - 5cos(2x) f. f(x) = -3 + 2sin(0,5x + 2) + 3cos(0,5(x + 6)) 
B. Verschillende periodes.

Ziet er heel anders uit dan die vier die we eerder vonden waarbij de periodes gelijk waren. Deze grafieken zijn veel "onregelmatiger". En toch zijn ook deze grafieken bijna allemaal periodiek. 
Dat kun je als volgt inzien:

Stel dat de grafiek van  f  periodiek is met periode a. Dan is de grafiek is bij x = a hetzelfde als bij x = 0, en bij x = 2a wéér, en bij x = 3a wéér, en.....
zo krijg je een hele rij x-waarden waarbij de grafiek hetzelfde is en zich gaat herhalen:  x = 0, a, 2a, 3a, 4a, 5a, ....
Als de grafiek van g  periodiek is met periode b dan is er voor die grafiek ook zo'n rij x-waarden op te stellen
Dat is dan natuurlijk  x = 0, b, 2b, 3b, 4b, 5b, .....
En nou komt het:  Als er in deze twee rijen x-waarden ergens een DUBBELE staat, dan is daar zowel de grafiek van f als de grafiek van g weer precies hetzelfde als in het begin, dus vanaf deze dubbele zal ook de grafiek van f + g precies hetzelfde gaan verlopen als vanaf het begin!

Voorbeeld.
Stel  f(x) = sin(πx/42)  en  g(x) = (πx/15)
Dan heeft f periode 84 en g heeft periode 30.
Maak twee series getallen van waaraf de grafieken van f en g zich herhalen:
Vanaf x = 420 gaan zowel  f als g zich herhalen, dus ook  f + g.
De periode van f + g is daarom 420.
Die periode heet heel toepasselijk de gemeenschappelijke periode.

Wil je er meer over weten?
Dan moet je maar in deze les over priemgetallen zoeken naar "Kleinste Gemene Veelvoud".
2. Geef de gemeenschappelijke periode van de grafiek van de volgende functies: 
         
a. f(x) = sin(1/35πx) + sin(1/8πx) d. f(x) = 4sin(1/14πx) - 2sin(1/8πx) + 5
   

560
 

112
 
b. f(x) = cos(1/2πx) + cos(1/9πx)  e. f(x) = sin(2/75πx) + sin(1/105πx)
   

36
 		  

525
 
c. f(x) = cos(2/27πx) + sin(1/15π(x + 6)) f. f(x) = cos(1/20πx) + cos(2/45πx)
   

270

 

  

360

 
3. Hieronder zie je een stukje van de grafiek van y = sinx + sinπx
In dit stuk van de grafiek is geen gemeenschappelijke periode te vinden. Het "danst maar wat op en neer".

a. Leg duidelijk uit waarom deze grafiek geen periode heeft, dus zich nooit zal gaan herhalen.
     
b. Welke van de volgende functies zijn periodiek?
I:    f(x) =  sinx + sin(x√2)
II:   f(x) =  cosx + cos(x • 0,2525252525252525....)
III:  f(x) =  sin (1/9x) + sin(1/13x)
IV:  f(x) =  cos(x + √5) + cos(πx)

II en III
C. Zwevingen.
We zagen dus dat sinussen met dezelfde periode wéér een sinus opleveren, en dat sinussen met verschillende periode een "vreemde" periodieke grafiek geven waarvan de periode gelijk is aan de gemeenschappelijke periode van de beide oorspronkelijke sinussen. Maar hoe zit het als de perioden niet helemáál gelijk zijn, maar bijna?
Op onderzoek maar weer met de GR (wat is het toch een handig apparaat!):

Interessant!
Bovenaan vinden we eerst het onregelmatige (maar wel periodieke) patroon dat we hierboven gewend waren. Maar als de frequenties van de twee functies erg dicht bij elkaar komen te liggen dan zien we ineens een zeer regelmatig patroon.
Waar komen we dit tegen?
Nou, vooral bij het stemmen van een gitaar (of ander snaarinstrument).
Als je een gitaar stemt dan sla je vaak twee snaren aan waarvan je wilt dat ze dezelfde frequentie (en dus periode) hebben.
Dus daarbij tel je twee sinusoïden bij elkaar op, waarvan je hoopt dat ze dezelfde periode hebben.

Bij de laatste toon in de grafieken hierboven zit je bijna goed.
Zoals je ziet hoor je dan ongeveer de goede frequentie, maar met een amplitude die nogal varieert
Kortom, je hoort je toon sterker en zwakker worden, met een veel lagere frequentie.
Dat noemen we het "zweven" van een toon.

Als je je gitaar aan 't stemmen bent is dat dus een teken dat je bijna goed zit....
Probeer de zwevingen steeds langzamer te laten gaan en je hebt je snaren precies goed gestemd!
De wiskundige verklaring...
Laten we de formules van  Simpson  gebruiken op sinα + sinβ
Als α ≈ β geeft dat:
sin(α + Δ)t + sin(αt) = 2 • sin1/2(2α + Δ)t  • cos(1/2Δ·t)  , waarbij Δ een heel klein getal is
Daar staan twee periodieke functies met elkaar vermenigvuldigd.
De eerste is sin1/2(2α + Δ)t  en die heeft periode ongeveer 2π/α 
De tweede is cos(1/2Δ·t) en die heeft periode 2π/0,5Δ = 4π/Δ
Die tweede periode is veel en veel groter dan de eerste. Dat betekent dat de tijdens één periode van de eerste die tweede zo goed als constant is. Je ziet dus allemaal golfjes van de eerste waarvan de amplitude heel langzaam verandert ten gevolge van de tweede.
Zoiets:

4. Een gitarist is zijn gitaar aan 't stemmen. Hij heeft de laagste E-snaar al precies zuiver. Als hij de vijfde fret daarvan indrukt hoor hij een exact zuivere A (frequentie 440 Hz).
Zijn echte A-snaar is echter nog iets te laag gestemd. Als hij de A-snaar tegelijk aanslaat met de zuivere A van de E-snaar, dan hoort hij zwevingen met een periode van 1 seconde.

Hoeveel Hertz is zijn A-snaar te laag gestemd? 
       

2 Hz

 
5. De volgende grafiek is de grafiek van y = sinax + sinbx
Op de x-as is 1 hokje ook 1 seconde
Bepaal zo goed mogelijk a en b

   
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)