Nieuwe pagina 1


OPGAVEN

Neem u₀ = 4 Bereken u₂ in de volgende drie gevallen:

1.	exponentiële groei met groeivoet 0,2.

2.	asymptotische groei met groeivoet 0,3 en grenswaarde 200.

3.	logistische groei met groeivoet 0,4 en grenswaarde 180.



OPLOSSING

1.	u₁ = 1,2 • 4 = 4,8 en u₂ = 1,2 • 4,8 = 5,76


2.	u(n) = u(n - 1) + 0,3•(200 - u(n - 1)) met u₀ = 4 geeft u₁ = 52,8 en u₂ = 104,0


3.	u(n) = u(n - 1) + 0,4 • (180 - u(n - 1))/180 met u₀ = 4 geeft u₁ = 5,56 en u₂ = 7,72

Differentievergelijkingen.

Differentievergelijkingen zijn eigenlijk gewoon recursievergelijkingen maar die worden altijd geschreven in de vorm: u_n_{+ 1} = u_n + Du_n
In woorden:

nieuwe waarde = oude waarde + toename
u_n_{+ 1} = u_n + Du_n

Het Du_n gedeelte ziet er voor elke soort groei weer anders uit.
Laten we drie soorten groei bekijken:

1. Exponentiële Groei.

Exponentiële groei kenmerkt zich door het feit dat bij elke stap met een vast getal (de groeifactor of de reden) wordt vermenigvuldigd. De grootte van de groei is dus rechtstreeks evenredig met de populatiegrootte.
De recursievergelijking is dan ook u_n₊₁ = r • u_n
Dat kun je ook schrijven als:

u_n_{+ 1} = u_n+ c • u_n

Daarbij is c de groeivoet, en dat is niets anders dan r - 1 (bij een groei met bijvoorbeeld 5% is r = 1,05 en c = 0,05)
De grafiek is hetzelfde als de grafiek van exponentiële groei (maar dan eigenlijk alleen losse stippen natuurlijk),

De directe vergelijking is:

u_n = u₀ • rⁿ

2. Logistische Groei

Dat is een realistischer soort groei dan exponentiële. De grootte van de groei hangt nu af van de populatiegrootte én van de nog aanwezige ruimte. De recursievergelijking die erbij hoort is:

c is weer de groeivoet, en G is de grenswaarde; het maximum dat de populatie kan halen. Het deel tussen haakjes zorgt ervoor dat de groei steeds minder snel gaat toenemen als de waarde G genaderd wordt. Het heet ook wel de remfactor. De grafiek ziet er dan ook zó uit:

3. Asymptotische groei

De groei hangt alleen af van de groeiruimte (hoe ver je nog van het maximale aantal G afzit). De differentievergelijking is dan ook:

u_n+₁ = u_n + c • (G - u_n)

c is weer de groeivoet. De groei is in het begin snel, maar neemt steeds meer af naarmate de G genaderd wordt. De grafiek ziet er dan ook zó uit: