Nieuwe pagina 1

Examenopgaven

VWO WA1

2004 - I opg. 5,6,7

2005 - II opg. 17, 18

2007 - II opg. 10, 11

OPGAVEN

Een winkelier heeft zijn winkel 300 dagen per jaar open en verkoopt gemiddeld 20 producten per dag.
Voor een bestelling bij de groothandel moet hij €75, - bestelkosten betalen.
De voorraadkosten zijn €0,30 per product per dag.
Neem aan dat de voorraad lineair afneemt.
De winkelier besluit A producten per keer te bestellen.

Voor welke A zijn zijn totale kosten minimaal?

OPLOSSING

Per jaar verkoopt hij 300 • 20 = 6000 producten
Bij bestelgrootte A zijn er ⁶⁰⁰⁰/_A bestellingen en dat geeft bestelkosten 75 • ⁶⁰⁰⁰/_A = ⁴⁵⁰⁰⁰⁰/_A
De gemiddelde voorraadgrootte is 0,5A en dat geeft per dag voorraadkosten 0,5 • A • 0,3 = 0,15A
dus per jaar 0,15A • 300 = 45A
Samen is dat TK = ⁴⁵⁰⁰⁰⁰/_A + 45A
Afgeleide is nul: TK' = ^-450000/_A2 + 45 = 0 Þ ⁴⁵⁰⁰⁰⁰/_A2 = 45 Þ A² = 10000 Þ A = 100
Hij moet per keer 100 producten bestellen.
dat geeft 60 bestellingen en kosten ⁴⁵⁰⁰⁰⁰/₁₀₀ + 45 • 100 = 9000

Voorraadmodellen.

De vraagstukken hierover zijn eigenlijk allemaal hetzelfde:

Een bedrijfje heeft per jaar 500 eenheden grondstoffen nodig, gelijkmatig (lineair)verspreid over het hele jaar (300 dagen).
Een bestelling kost basistarief (de vrachtwagen moet rijden) €90,-
De voorraadkosten zijn €0,20 per eenheid per dag.

Hoe vaak per jaar moet er een bestelling komen om de totale kosten minimaal te maken?

Als men alle 500 eenheden in één keer bestelt zijn de vervoerskosten laag, maar de voorraadkosten hoog, als men meerdere keren bestelt worden de voorraadkosten lager maar de vervoerskosten hoger. Waar ligt het optimum?

OPLOSSING

Stel dat men x eenheden per keer bestelt, elke keer precies op het moment dat de voorraden op zijn.

Dan zijn er ⁵⁰⁰/_x bestellingen per jaar: kost ⁵⁰⁰/_x • 90 = ⁴⁵⁰⁰⁰/_x

De voorraad varieert lineair van 0 tot x dus is gemiddeld 0,5x per dag
Dat kost 0,5x • 0,20 • 300 = 30x

Totale kosten: TK = ⁴⁵⁰⁰⁰/_x + 30x

Dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is:
TK = 45000 • x^-1 + 30x dus TK' = -45000 • x^-2 + 30
minimum als TK'= 0 Þ ⁴⁵⁰⁰⁰/_x2 = 30 Þ x² = ⁴⁵⁰⁰⁰/₃₀ = 1500
Þ x = Ö1500 = 38 á 39 eenheden per keer