Een stukje Grafentheorie
Voor een verantwoorde wiskundige oplossing gaan we eerst wandelen in Königsberg.
Wie daar alles al van weet kan dit stukje gewoon overslaan en meteen hier naar de oplossing van het torenraadsel gaan.
Köningsberg (Kaliningrad) was een stadje in Duitsland waar de rivier de Pregel doorheen stroomt.
Zo midden in de 18e eeuw waren er in het stadje 7 bruggen die de verschillende delen met elkaar verbonden. Hier is een plattegrond: 
De inwoners van Königsberg vroegen zich af of het mogelijk was een wandeling te maken waarbij alle stadsdelen werden bezocht en waarbij elke brug precies één keer werd overgestoken. Alle pogingen waren vergeefs. Maar toen kwam Euler met het bewijs dat zo'n wandeling onmogelijk is. Dat bewees hij als volgt:
Schematisch, als we alleen letten op de landdelen en de bruggen, is de situatie als volgt:
En nóg schematischer als hiernaast. Daarin is elk landdeel door een stip voorgesteld en elke brug door een lijn. Zo'n zeer schematische figuur heet een GRAAF. De stippen heten KNOOPPUNTEN en de lijnen VERBINDINGSLIJNEN.

De vraag is eigenlijk geworden of we de figuur hiernaast in één keer kunnen tekenen zonder ons potlood van het papier te halen en elke lijn maar één keer te volgen.

Euler bedacht het volgende: elke keer als we op onze route een knooppunt passeren komen we er via de ene verbindingslijn aan, en vertrekken we weer via een andere verbindingslijn. Dus elke passage komt overeen met twee verbindingslijnen bij een knooppunt. 
De punten die we alleen maar passeren zullen daarom in totaal een even aantal lijnen hebben. 
Alleen als we in één punt beginnen en in een ander punt eindigen hebben dat begin- en eindpunt een oneven aantal verbindingslijnen. (één voor begin/eind plus 2 voor elke keer onderweg passeren)

Een wandeling met verschillend begin- en eindpunt (een EULER-circuit)  is dus alleen mogelijk als alle knooppunten een even aantal verbindingslijnen hebben, op twee na, die een oneven aantal hebben.
Voor een wandeling met hetzelfde begin- en eindpunt (een HAMILTON-circuit) moeten alle knooppunten een even aantal verbindingslijnen hebben.
Het aantal verbindingslijnen bij een knooppunt heet de GRAAD van dat knooppunt.
Omdat de knooppunten van de graaf van Königsberg allemaal een oneven graad hebben zal een wandeling dus nooit mogelijk zijn.
Het Torenraadsel
Terug naar de wandelende toren.
Laten we van het 4 bij 4 schaakbord een graaf maken met als knooppunten de velden en als verbindingslijn de relatie "Staat via een torenzet in verbinding met".
Dat geeft de volgende graaf:
De voorwaarde hier is echter dat je alle knooppunten langs moet gaan, niet alle verbindingslijnen!
Dat is vanaf 1 makkelijk te zien:
 
van 1 naar 9,
dan met de klok mee een rondje om het midden tot 12.
van 12 naar 4 en een rondje tegen de klok in buitenom terug naar 1.
Dat alles resulteert in de route hiernaast.
Maar goed, wij als echte wiskundigen zijn natuurlijk niet tevreden met deze afzichtelijke oplossing!
Bah!
Zomaar een oplossing!
en niet eens symmetrisch!!
Zijn er symmetrische oplossingen, en zo ja, hoeveel?
En daar komt onze kennis van Eulergrafen goed van pas.
Als geoefende grafen-lezers zien wij meteen dat de punten 11, 10, 6 en 7  graad 2 hebben, dus die verbindingen moeten in ieder geval gebruikt worden. Zie figuur 1.

Verder moeten we de binnenste achthoek verbinden met de buitenkant. Daarvoor kiezen we willekeurig (de zaak is toch symmetrisch) de verbinding 13-15. Maar dan kunnen we 13-5 niet gebruiken want dat maakt een gesloten circuit, en dat kunnen we nooit als deel van een geheel doorlopen zonder een knooppunt dubbel te bezoeken. Verder valt 15-3 ook af; dat zou drie wegen in punt 15 geven. Zie figuur 2.
1-3 zal in ieder geval gebruikt moeten worden en dan valt 1-9 af en dan moet 9-12 gebruikt worden en dan valt 12-4 af.
5-8 moet ook gebruikt worden en dan valt 8-16 af.
Dat levert de tussenstand hiernaast
En nu staan we voor een keuze: 14-2 gebruiken of niet?
Als we 14-2 wel gebruiken vallen 2-4 en 14-16 af en krijgen we de graaf van figuur 4a.
Als we 14-2 niet gebruiken moeten we 2-4 en 14-16 wel gebruiken. Dat levert de graaf van figuur 4b.

En daarmee zijn de enige twee symmetrische oplossingen gevonden! Ze corresponderen met de twee torenwandelingen hieronder.
2.  Het wiskunde congres
Op een wiskundecongres zijn 20 verschillende sprekers uitgenodigd.
Elk van de aanwezigen, dus óók de 20 sprekers, beluistert minstens 10 lezingen.
Hoeveel koppeltjes van wiskundigen die elkaars lezing hebben gehoord zijn er dan minstens?
3. Kubussen

Voor je liggen vier kubussen met gekleurde zijvlakken. De bouwplaten staan hieronder. Je zou ze eigenlijk nu eerst moeten maken voordat je verder kunt.


Het is de bedoeling dat je deze vier kubussen op elkaar stapelt tot een kolom van vier, maar zo dat aan elk van de vier zijkanten van de kolom alle vier de gebruikte kleuren te zien zijn.
Ga je gang.....
Weer even wat grafentheorie tussendoor...
Grafen die dezelfde "Structuur" hebben heten ISOMORF en worden wiskundig als identiek beschouwd (door de volgorde/naamgeving te veranderen zijn ze identiek te maken). De GRAAD van een knooppunt is het aantal verbindingslijnen dat bij dat knooppunt samenkomt. Als de graad van elk knooppunt van een graaf gelijk is, dan heet die graaf REGELMATIG en dan kun je spreken van de GRAAD van de graaf.
Natuurlijk zijn een groot aantal grafen onderzocht. Soms zelfs gewoon door alle mogelijkheden uit te proberen. Zo weten we bijvoorbeeld dat er slechts VIJF verschillende grafen met 8 knooppunten en graad 3 zijn. Dat zijn deze vijf:
Elke andere die je ontwerpt is terug te herleiden tot één van dezen.
Het leuke is; nu hebben we meteen óók alle verschillende grafen met 8 knooppunten en graad 4!!!
Teken gewoon in de bovenstaande grafen alle verbindingslijnen die nu NIET getekend zijn, en laat de WEL getekenden weg! Dat geeft (in dezelfde volgorde) de volgende vijf:
Tijd voor een toepassing:
Dierentransport
Acht dieren moeten door een transportbedrijf naar de dierentuin vervoerd worden. Men heeft daarvoor vier stevige kooien gemaakt, elk geschikt voor maximaal 2 dieren. Maar niet alle dieren kunnen bij elkaar in de kooi. Elk dier heeft hoogstens 3 anderen waarmee het niet samen in één kooi kan.
Laat zien dat transport dan altijd mogelijk is.