Telescoop-sommen
De laatste som hierboven, die waarbij alle termen elkaar
opheffen, heet een telescoopsom
Immers hij schuift als het ware uit van de eerste
term naar de laatste, waarbij alle tussenliggende zó in
elkaar kunnen klappen: alleen de eerste en de laatste doen er
toe. De algemene vorm van een telescoopsom is:
In ons geval was f(k) = k/(k
+ 1)!
Deze speciale telescoopsom kunnen we trouwens handig gebruiken
om de volgende stelling te bewijzen:
|
n! kan altijd geschreven
worden als de som van n verschillende delers van n! |
Zo kun je bijvoorbeeld 7! = 5040 schrijven als 5040 = 2520
+ 1680 + 630 + 168 + 35 + 6 + 1 en deze zeven getallen
zijn allemaal delers van 5040. Grappig hè? Lukt altijd!
Wat heeft dat met bovenstaande telescoopsom te maken? Nou
kijk maar:
| Stel dat we n
getallen hebben gevonden zodat geldt: |
|
| Delen door n!
geeft: |
|
Dus als we getallen gn kunnen
vinden waarvoor dit laatste geldt hebben we meteen de n
delers van n! gevonden. Onze telescoopsom S helemaal
boven zegt:
En dat is precies een som zoals we zoeken!
Neem daarom gewoon g1 = 2! en g2
= 3!/2 en g3 = 4!/3
en g4 = 5!/4
tot en met gn-1 = n!/(n-1)
Neem verder gn = n! en klaar is
Kees! We hebben nu n zulke g's gevonden en als we n!
door deze g's delen vinden we de gezochte n delers
van n!
Deze stelling is trouwens maar een slap aftreksel van een veel
sterkere stelling, die zegt:
| elk getal niet groter
dan n! is te schrijven als som van hoogstens n
verschillende delers van n! |
Het bewijs daarvan gaat met inductie en staat hier.
Wij gaan intussen terug naar die wonderlijke telescoopsommen,
want daar kun je nog veel meer mee: |
Laten we de zaak omdraaien.
Bij een bepaalde som kunnen we misschien ook wel zelf een
passende telescoopsom fabriceren.
Stel dat we willen uitrekenen: 12 + 22
+ 32 + 42 + ... + n2
Dan gaan we op zoek naar een functie f waarvoor
geldt f(x + 1) - f(x) = x2.
Als het ons lukt die te vinden kunnen we immers schrijven:
12 + 22 + 32 + ....+ n2
= [ f(2) - f(1)] + [ f(3)
- f(2)] + [f (4) - f(3)] +
.... + [f(n + 1) - f(n)] = f(n
+ 1) - f(1)
Alles schuift als een telescoop weer in elkaar en er blijven maar
twee termen over.
Lukt het om zo'n f te vinden?
Omdat het verschil van f(x + 1) en f(x)
een kwadraat moet zijn proberen we voor f een derdegraads
functie:
Stel f(x) = ax3 + bx2
+ cx + d
f(x + 1) - f(x) = a(x
+ 1)3 + b(x + 1)2 + c(x
+ 1) + d - ax3 - bx2
- cx - d =
Haakjes wegwerken en hergroeperen geeft 3ax2
+ (3a + 2b)• x + (a + b
+ c)
Dat moet gelijk zijn aan x2 dus vinden
we a =1/3
en daarna b = -1/2
en tenslotte c = 1/6.
conclusie: als f(x) = 1/3x3
- 1/2x2
+ 1/6 x dan
geldt f(n + 1) - f(1) =
12 + 22 + 32 + ... + n2
Voor dit laatste kunnen we natuurlijk ook wel even een formule
maken:
f(n + 1) - f(1) = 1/3(n
+ 1)3 - 1/2(n
+ 1)2 + 1/6 (n
+ 1) - 0 = ..... = 1/3n3
+ 1/2n2
+ 1/6n
De echte freaks gaan nog even door natuurlijk:
1/3n3
+ 1/2n2
+ 1/6n
= 1/6n
• (2n2 + 3n +1) = 1/6•n
• (n + 1) • (2n + 1)
Ja hoor; daar is 't ie dan eindelijk:
| 12 + 22 + 32 + ....+ n2
= 1/6 • n
• (n + 1) • (2n + 1) |
Natuurlijk kunnen we nu precies hetzelfde doen voor
de som van derdemachten, vierdemachten en ga zo maar door. Die
van derdemachten levert nog wat aardigs op:
Probeer f(x) = ax4 + bx3
+ cx2 + dx + e. Dat geeft
a = 1/4 en b
= -1/2 en c
= 1/4 en d = e
= 0
Daaruit volgt op den duur:
| 13 + 23 + 33 + ...
+ n3 = [1/2
• n • (n + 1)]2 = (1 + 2 +
... + n)2 |
Het blijkt dat de som van opeenvolgende derdemachten steeds een
kwadraat wordt!
Kijk maar, 't klopt nog ook:
13 = 1
13 + 23 = 9
13 + 23 + 33 = 36
13 + 23 + 33 + 43 = 100
....
Ofwel: elke derdemacht is als het verschil van twee
kwadraten te schrijven.
Zo geeft n = 12 bijvoorbeeld : 123
= 1728 = 782 - 662
weer wat geleerd.....
Op een erg leuke andere manier kun je ook rijtjes
derdemachten die samen een kwadraat vormen maken.
Kies een willekeurig getal....
Wat zeg je?
Oké, zoals je wilt... 54
De delers van 54 zijn {54, 27, 18, 9, 6, 3, 2, 1}
Nu gaan we de delers van deze delers tellen:
54 heeft 8 delers (54, 27,
18, 9, 6, 3, 2, 1)
27 heeft 4 delers (27, 9,
3, 1)
18 heeft 6 delers (18, 9,
6, 3, 2, 1)
9 heeft 3 delers (9, 3, 1)
6 heeft 4 delers (6, 3, 2,
1)
3 heeft 2 delers (3, 1)
2 heeft 2 delers (2,1)
1 heeft 1 deler (1)
En nu geldt 83 +
43 + 63 + 33 + 43 +
23 + 23 + 13 = 900 = (8 + 4 + 6
+ 3 + 4 + 2 + 2 + 1)2
Gaaf hé?
|
