Toch vond je deze oplossing
misschien onbevredigend: 't is alleen maar een beetje proberen.
Bovendien; als we nou 1000 keer snijden, hoeveel wordt het dan?
Nogal een werk om de tabel helemaal uit te breiden tot 1000.
Laten we een directe formule voor A(n) maken.
DA is te schrijven als A(n)
- A(n - 1)
Laten we wat machtsfuncties gaan proberen:
lineaire functie: A(n) = an + b
geeft A(n) - A(n - 1) = an + b
- a•(n- 1) - b = a
conclusie: bij lineaire functies geeft de rij DA
al een constante.
kwadratische functies: A(n) = an2
+ bn + c
geeft A(n) - A(n - 1) = an2
+ bn + c - a•(n - 1)2 - b•(n
- 1) - c = 2an + a da's nog niet
constant.
nog een keer de verschillen: DA2(n)
= DA(n) - DA(n
- 1) = 2an + a - 2a•(n - 1) - a
= 2a
conclusie: bij kwadratische functies geeft de rij D2A
een constante waarde.
Die constante was in ons geval 1, dus 2a = 1
ofwel a = 0,5
De formule zal dus worden A(n) = 0,5n2
+ bn + c
Om b en c te vinden trekken we van de rij
getallen eerst maar eens 0,5n2 af, en bekijken
weer de verschillen:
| nummer (n) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| nieuwe A |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
| DA |
- |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
En zo zien we dat de DA-rij van
bn + c constante 0,5 oplevert, dus b = 0,5
Dat geeft A(n) = 0,5n2 + 0,5n
+ c en omdat A(1) = 2 moet gelden c = 1
De formule is daarmee geworden A(n)
= 0,5n2 + 0,5n + 1
A(1000) = 500501.
(een andere manier om deze vergelijking te vinden is drie punten
uit de tabel in te vullen in de algemene vergelijking voor A(n). Dat
levert een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden
en dat is vrij eenvoudig op te lossen).
Hadden we dit ook wat
"wiskundiger" kunnen vinden?
Tuurlijk, anders zou ik deze vraag niet
stellen.
Stel dat er n -1 lijnen staan. Dan zijn er zoveel mogelijk
gebieden als geen van deze lijnen evenwijdig zijn en als er
nooit drie lijnen door één punt gaan.
Teken nu de nde lijn. Die snijdt weer alle
anderen; dat geeft n-1 snijpunten.
Deze snijpunten verdelen de lijn in n stukken, en elk van
deze n stukken doorsnijdt een vlakdeel, dus geeft een
extra vlakdeel. Dus de nde lijn produceert n
extra vlakdelen.
Dus A(n) = A(n - 1) + n. En
bovendien is A(1) = 2
Dat geeft voor n lijnen: A(n) = 2 + (2 + 3 +
4 + ... + n) = 1 + (1 + 2 + 3 + ... + n) = 1 + 0,5
• n • (n - 1)
Herrangschikken geeft inderdaad de gezochte formule!
Probeer op deze manier het volgende verwante raadsel ook maar
eens op te lossen:
| Wat is het maximale aantal vlakdelen dat je kunt
krijgen door n cirkels te tekenen? |
(De oplossing staat
hier)
En ja hoor! Daar gaan we weer!
Als je al een beetje op deze website hebt rondgeneusd dan
verwacht je de volgende stap natuurlijk al: hoe is het als we
iets 3-dimensionaals (een kaas?) met vlakken doorsnijden?
Hoeveel kaasstukken kunnen we met n vlakken produceren?
We worden langzaamaan verdeelspecialisten, dus laten we onze
kennis van hierboven gebruiken.
Stel we hebben al n - 1 vlakken met n - 1
snijlijnen.
Het nde vlak produceert dan n - 1 extra
snijlijnen.
In hoeveel vlakdelen verdelen n - 1 lijnen een vlak?
Daar lachen we om: dat hebben we net hierboven bij de pizza's onderzocht:
n - 1 lijnen geven maximaal 0,5 • (n- 1)2
+ 0,5 • (n - 1) + 1 = 0,5n2 - 0,5n
+ 1 vlakdelen.
Daarmee maken we de volgende tabel:
| aantal vlakken n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 0,5n2 - 0,5n +
1 |
1 |
2 |
4 |
7 |
11 |
16 |
22 |
| A(n) |
2 |
4 |
8 |
15 |
26 |
42 |
64 |
Met dezelfde aanpak als eerder vinden we:
A(n) = 1/6
• (n3 + 5n + 6)
|
In hogere dimensies wordt het
moeilijker met de methode hiervoor; we kunnen het ons niet precies
voorstellen. Een 4D-ruimte wordt door een 3D-ruimte
doorsneden, maar hoeveel snijvlakken hebben kubussen die elkaar
in 4D doorsnijden?
Laten we een andere aanpak proberen, weer voortbouwend op onze
eerdere gegevens.
1e aanpak
Noem D de dimensie. Dan is de volgende tabel te maken:
| D |
formule A(n) |
anders geschreven |
| 0 (een punt) |
A(0) = 1 |
1 |
| 1 (een lijn) |
A(n) = n + 1 |
1 + n |
| 2 (een pizza) |
0,5• n2 + 0,5n + 1 |
1 + n + 1/2
• n • (n- 1) |
| 3 (een kaas) |
1/6
• (n3 + 5n + 6) |
1 + n + 1/2 •
n • (n- 1) + 1/6
• n • (n - 1) • (n - 2) |
| 4 ??? |
?? |
?? |
Nou, daar zit wel regelmaat in!
Ik gok dat voor D = 4 geldt:
A(n) = 1 + n + 1/2 •
n • (n- 1) + 1/6
• n • (n - 1) • (n - 2) +
1/24
• n • (n - 1) • (n - 2) • (n-
3)
Jij toch ook zeker????
Uitgewerkt zou dat geven A(n) = 1/24
• (n4 - 2n3 + 11n2
+ 14n + 24)
Ter controle nog even de:
2e aanpak
We stellen onze D-tabel
achterstevoren op. De rij DA4(n)
zal allemaal enen bevatten voor de vierde dimensie:
| n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| A(n) |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
31 |
57 |
99 |
163 |
| DA(n) |
- |
1 |
2 |
4 |
8 |
15 |
26 |
42 |
64 |
| DA2(n) |
- |
- |
1 |
2 |
4 |
7 |
11 |
16 |
22 |
| DA3(n) |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| DA4(n) |
- |
- |
- |
- |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Ik ben begonnen met de zwarte cijfers, en heb vervolgens
de rode ingevuld, per rij van de onderste rij naar
de bovenste.
In de eerste twee rijen staan nu de punten (0,1) (1,2)
(2,4) (3,8) (4,16) en daar moet de grafiek van A(n)
= an4 + bn3 + cn2
+ dn + e doorheen gaan.
Invullen geeft de vijf vergelijkingen:
e = 1
a + b + c + d + e = 2
16a + 8b + 4c + 2d + e
= 4
81a + 27b + 9c + 3d + e
= 8
256a + 64b + 16c + 4d + e
= 16 |
De oplossing daarvan is inderdaad onze vergelijking!
(de afleiding staat hier) |
Naast generaliseren hebben
wiskundigen de vervelende gewoonte te proberen om de dingen om
te draaien. In dit geval zou dat worden: we weten
het aantal delen, hoe vaak moeten we snijden? Een eenvoudig
voorbeeldje daarvan is het volgende probleem:
KAASBLOKJES SNIJDEN
Stel je hebt een mooi kubusvormig stuk kaas
(zoals in het raadsel van de slak op de kaaskubus op deze
website), en je wilt dat in 27 kleinere stukjes snijden. Zoals
RUBIK's kubus dus.
Dat kan natuurlijk eenvoudig door de grote kubus langs zes
vlakken door te snijden.
Maar als je nou tussendoor de afgesneden stukken opnieuw voor je
op tafel mag herrangschikken, kan het dan in minder dan zes
keer?
NEE!
Waarom niet?
Dat kun je het makkelijkst zien door naar het centrale
(middelste) kubusje te kijken.
Dat heeft zes grensvlakken, en om helemaal los te komen van de
rest moet elk grensvlak één keer doorgesneden worden. Je kunt
nooit meer dan één grensvlak per keer doorsnijden, dus dat
kost minstens zes keer snijden.
En
hoe is dat bij een kubus van 64 blokjes? Dan
kan het weer niet in minder dan zes keer natuurlijk.
Het kan nu wél in precies zes keer. Kijk maar
hier |
