Noem f de fractie van het touw die de slak
achter zich heeft. Dan verandert f door het uitrekken van het
touw niet, immers er komt relatief evenveel extra touw achter de slak
als vóór de slak. Maar door het kruipen van de 10 cm iedere keer wordt
f wél groter. Als fn de fractie na de nde
keer uitrekken is, dan is de rij fn een continu
toenemende rij. Laten we er een recursieformule voor opstellen.
Stel dat de slak direct na de nde keer uitrekken op fractie fn
vanaf het begin van het touw zit, en dat het touw lengte Ln
heeft. Dan is de absolute afstand van de slak tot het begin gelijk
aan fn • Ln. Nu kruipt de slak 10
cm verder. Dan wordt de absolute afstand fn •
Ln + 10, en de fractie dus fn+1 = ( fn
• Ln + 10) / Ln = fn
+ 10/Ln
Omdat het touw elke keer 100 cm uitrekt en in het begin 1000 cm lang is,
is Ln = 1000 + 100n.
Dat geeft de recursieformule:
Het gaat erom of deze rij het getal 1 passeert.
Nou kunnen we vrij eenvoudig bewijzen dat deze rij breuken divergeert.
Dat gaat als volgt:
Neem eerst S = 1 + (1/2) + (1/3) +
(1/4) + ...
deze som gaat naar oneindig , immers:
S = 1 + 1/2 + {1/3 +
1/4} + {1/5 +
1/6 + 1/7 + 1/8} +
{1/9 + 1/10 +
1/11
+ 1/12 + 1/13 + 1/14 +
1/15 + 1/16} + .....
Hier staan tussen de accolades allemaal termen die samen groter of gelijk aan
1/2 zijn.
Bijvoorbeeld {1/5 + 1/6 +
1/7 + 1/8} > {1/8 +
1/8 + 1/8 + 1/8}
= 1/2
Tussendoortje ? De
som 1 + (1/2) + (1/3) +
(1/4) + ... gaat naar oneindig.
Tijdens deze "reis naar oneindig" zal de som
dus ook oneindig keer een geheel getal passeren.
Maar de som wordt nooit gelijk aan een geheel getal! Bewijs
dat! |
 |
|
|
|
Goed, terug naar de slak.... S gaat naar oneindig...
(1/10)•S = (1/10) +
(1/20) + (1/30) + ... + (1/100)
+ (1/110) + (1/120) + ....
gaat dus ook naar oneindig.
Het rode deel is eindig, dus ook het groene deel gaat naar oneindig.
Dus fn wordt uiteindelijk oneindig groot, dus bereikt
zeker het getal 1.
En precies eenzelfde redenering geldt voor alle touwen en voor de
uitrekking willekeurig groot!!!!!
|
Zet een slak op een stuk rubber touw van 500 km, laat hem steeds 1 mm lopen, en
rek het touw daarna 100 km uit. Hij komt nóg aan het einde!
Wauw!!!!!
duurt trouwens dan wél even......
|
|
|
2.
Twee keer een oneindige kansrij. |
|
|
Twee teams A en B spelen een serie
wedstrijden. Elke keer zijn er drie mogelijke
uitkomsten: A wint, B wint of het wordt remise (de
kansen zijn resp. a, b, en r)
Als een team twee wedstrijden meer heeft gewonnen dan de
ander is dat team winnaar geworden. Hoe groot is de kans
dat team A wint? |
|
|
|
|
Oplossing: |
|
|
Schrijf de serie
wedstrijden als volgt op: RBRRRARBRRARRARRRRB.....
(daarin is uiteraard A = A wint, B = B wint en R = remise)
Als de kans dat A wint gelijk is aan a, en dat B wint
gelijk aan b dan is de kans op remise r = 1
- a - b
Voeg nu aan elke A of B de serie R's die eraan voorafgaan toe.
Dat noemen we een ronde
Bovenstaande serie zou dus bestaan uit 6 ronden:
(RB) (RRRA) (RB) (RRA) (RRA) (RRRRB)
...
De rondes die door A worden gewonnen zien er uit als A,
RA, RRA, RRRA, RRRRA, ....
De kans dat een ronde door A wordt gewonnen is daarom a
+ ra + r2 a + r3 a
+ r4a + ....
De som daarvan is
Op dezelfde manier is de kans dat B een ronde wint gelijk
aan b = b/(a
+ b)
Wanneer is het afgelopen?
Als een team 2 wedstrijden meer heeft gewonnen dan een ander
team. Dat kan dus alleen na een even aantal ronden.
Na elk even aantal ronden zijn er twee mogelijkheden: de
stand is gelijk of het is afgelopen.
Als het na 2n + 2 ronden is afgelopen dan moet het
na 2, 4, 6, ..., 2n ronden steeds gelijk zijn geweest
(Anders was het al eerder afgelopen)
De kans dat het in twee ronden gelijk wordt is steeds ab + ba =
2ab.
De kans dat A in 2n + 2 ronden wint is daarom gelijk aan
: (2ab)n • a2 (n
keer werd het gelijk, en daarna wint A twee ronden op rij)
Voor de totale kans dat A wint moeten we dit sommeren over alle n:
Dit is weer een meetkundige rij (met reden 2ab)
en de som daarvan is:
|
|
|
|
