 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De afgeleide van de cyclometrische functies. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Om de afgeleide van de functies arcsinx en arccosx en arctanx te vinden gaan we gebruik maken van het feit dat we hun inversen goed kennen. Je weet natuurlijk al dat een functie en zijn inverse elkaars gespiegelde zijn in de lijn y = x. Laten we daarom eerst gaan kijken wat er met de afgeleide van een functie gebeurt bij dat spiegelen. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De rode grafiek in de linkerfiguur
wordt gespiegeld in de lijn y = x. De twee blauwe lijnen
zijn de raaklijnen in de punten R (die elkaars spiegelbeeld in y
= x zijn). In de rechterfiguur zie je die twee raaklijnen
nogmaals. De bovenste raaklijn heeft helling Δy/Δx = groen/paars en de onderste heeft helling Δy/Δx = paars/groen Aan de lengte en kleur van die lijnstukjes zie je dat die twee precies elkaars omgekeerde zijn; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Zie de figuur
hiernaast. Op de grafiek van f ligt een punt (p, f(p)), en de helling is daar gelijk aan f '(p) Dan ligt op de grafiek van finv een punt (f(p), p) en de helling is daar gelijk aan 1/f '(p) We willen graag de helling is dat punt als functie van de x daar, dus als functie van f(p) Dus als het ons lukt om die helling 1/f '(p)te schrijven als functie van f(p) dan zijn we klaar. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Vertrouwd
voorbeeldje. We weten dat de afgeleide van x2 gelijk is aan 2x, en dat de inverse van x2 gelijk is aan √x Stel dat we de afgeleide van √x niet zouden weten..... • Op de grafiek van x2 ligt een punt (p, p2) met helling 2p • Dan ligt op de grafiek van √x een punt (p2, p) met helling 1/2p • Probeer die 1/2p ook in termen van p2 te schrijven, want dat is de x in dat punt. • Dat kan makkelijk: 2p = 2√(p2) dus de helling in het punt waar x = p2 is gelijk aan 1/2√(p2) dus dat is 1/2√x • Dus de afgeleide van √x is 1/2√x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De afgeleide van arcsinx
Dat gaat op precies dezelfde manier als in het voorbeeldje hierboven. Ik zal het regel voor regel kopiëren. • We weten dat de afgeleide van sinx gelijk is aan cosx, en dat de inverse van sinx gelijk is aan arcsinx • Op de grafiek van sinx ligt een punt (p, sinp) met helling cosp • Dan ligt op de grafiek van arcsinx een punt (sinp, p) met helling 1/cosp • Probeer die 1/cosp ook in termen van sinp te schrijven, want dat is de x in dat punt. • Dat kan: cosp = √(1 - sin2p), dus de helling in het punt waar x = sinp is gelijk aan 1/√(1 - sin2p) dus dat is 1/√(1 - x2) • Dus de afgeleide van arcsinx is 1/√(1 - x2) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De afgeleide van arccosx | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Nóg maar een keer
dan: • We weten dat de afgeleide van cosx gelijk is aan -sinx, en dat de inverse van cosx gelijk is aan arccosx • Op de grafiek van cosx ligt een punt (p, cosp) met helling -sinp • Dan ligt op de grafiek van arccosx een punt (cosp, p) met helling 1/-sinp • Probeer die 1/-sinp ook in termen van cosp te schrijven, want dat is de x in dat punt. • Dat kan: sinp = √(1 - cos2p), dus de helling in het punt waar x = cosp is gelijk aan -1/√(1 - cos2p) dus dat is -1/√(1 - x2) • Dus de afgeleide van arccosx is -1/√(1 - x2) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De afgeleide van arctanx | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Wegens succes
geprolongeerd: • We weten dat de afgeleide van tanx gelijk is aan tan2x + 1, en dat de inverse van tanx gelijk is aan arctanx • Op de grafiek van tanx ligt een punt (p, tanp) met helling tan2p + 1 • Dan ligt op de grafiek van arctanx een punt (tanp, p) met helling 1/tan2p + 1 • Die 1/tan2p + 1 staat al netjes in termen van tanp. en dat is de x in dat punt. • Dus de afgeleide van arctanx is 1/(x2 + 1) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| N.B. Het kan ook met impliciet differentiëren; dat gaat misschien nog wel sneller. Bijvoorbeeld voor afgeleide van arcsinx kun je dit verzinnen: y = arcsinx ⇒ siny = x Ga dat impliciet differentiëren: cosy dy = dx ⇒ dy/dx = 1/cosy Maar cosy = √(1 - sin2y) = √(1 - x2) dus y' = 1/√(1 - x²) (die laatste regel geldt alleen omdat -π/2 < y < π/2 zodat cosy positief is) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
