afgeleide kwalitatief


De afgeleide functie.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een opdracht....

Bereken de helling van de grafiek van y = 0,2x³ + 4x in het punt waar x = 1

Bereken de helling van de grafiek van y = 0,2x³ + 4x in de punten waar x = -3, -2, -1, 0, 2, 3 en vul de volgende tabel in.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
helling

Teken een grafiek met de punten van deze tabel.
Op de y-as staat dus nu de helling van de grafiek van y = 0,2x³ + 4x

De grafiek die je zojuist getekend hebt heet de hellinggrafiek van de grafiek van f.
Hopelijk heb je zoiets als hieronder gevonden:

We gaan eens bekijken hoe je de vorm van die hellinggrafiek kunt afleiden uit de vorm van de grafiek van f zélf.
Een paar dingen zul je hopelijk logisch vinden....

1. Waar de grafiek van f een top heeft, snijdt zijn hellinggrafiek de x-as.

Immers in een top (of dal natuurlijk) van een grafiek is de helling nul (de raaklijn loopt horizontaal). Dus is de y van de hellinggrafiek nul, dus ligt de hellinggrafiek op de x-as. De volgende groene punten "horen bij elkaar".

2. Waar de grafiek van f daalt, ligt zijn hellinggrafiek onder de x-as.

Immers als de grafiek daalt is de helling negatief, dus is de y van de hellinggrafiek negatief, dus ligt de hellinggrafiek onder de x-as.

3. Waar de grafiek van f het steilst daalt, heeft zijn hellinggrafiek een minimum.

Immers, als de grafiek daalt is de helling negatief, en als hij met meest daalt is de helling het meest negatief. Dat moet dan wel een minimum zijn (en we weten ook dat dat minimum onder de x-as zal zitten)

Andere namen...
Er zijn nog twee andere namen voor de hellingfunctie die bij een functie f hoort, namelijk "afgeleide" en f ' (spreek uit: f-accent)

hellingfunctie = afgeleide = f '

1.	Hieronder staan drie grafieken van functies f. Leg duidelijk uit wat de paarse stippen of paarse delen van de grafiek van f betekenen voor de grafiek van de afgeleide, f '.



2.	Hieronder staan drie grafieken van hellingfuncties f ' . Leg duidelijk uit wat de paarse stippen of paarse delen van de hellinggrafiek betekenen voor de grafiek van f .



3.	Schets van de grafieken hieronder de bijbehorende hellinggrafiek.



4.	Schets van de hellinggrafieken hieronder een mogelijke bijbehorende grafiek van de functie zélf. Leg uit waarom er meerdere mogelijkheden zijn. Wat hebben die verschillende mogelijkheden met elkaar te maken?



5.	a.	Wat betekent het voor de grafiek van een functie f als de grafiek van zijn hellingfunctie de x-as raakt?

	b.	Wat betekent het voor de grafiek van een functie f als de grafiek van zijn hellingfunctie een horizontale asymptoot heeft?

	c.	Kun je een grafiek verzinnen die gelijk is aan zijn eigen hellinggrafiek?

6.	Van vier functies staat hieronder een rode grafiek. Daaronder staan de bijbehorende vier afgeleide functies in het blauw en in willekeurige volgorde. Zoek bij elke functie de bijbehorende afgeleide. Geef een duidelijke uitleg.

De afgeleide met de Grafische Rekenmachine

De Grafische Rekenmachine heeft een optie waarmee je direct de afgeleide functie kunt vinden.
Dat scheelt een boel werk!

Je vindt de optie bij MATH en dan nummer 8: nDeriv(
Het werkt als volgt: Zet de functie waarvan je de afgeleide wilt berekenen in Y1.
Zet dan bij Y2: nDerive(Y1, X, X)
(Gebruik de dikke komma boven de 7, en die Y1 vind je bij VARS - Yvars-Function, weet je nog?)

Dan is Y2 nu de afgeleide functie van Y1.

Om sprongen en andere stunts met een skateboard te oefenen zijn in veel parken skatebanen aangelegd. De meest gangbare vorm is de zogenaamde "Halfpipe". Er zijn echter ook andere mogelijkheden. Hiernaast is het zijaanzicht van een skatebaan getekend. Deze baan begint in punt A op een hoogte van 3,2 meter en loopt daarna eerst af tot punt B op de grond (4 meter horizontaal vanaf A). De baan gaat dan weer omhoog tot een punt C op horizontale afstand 6 meter vanaf A.

De formule die de vorm van de baan beschrijft is: H(x) = 0,1x³ - 0,6x² + 3,2
Hierin is H de hoogte van de baan vanaf de grond gemeten en x de horizontale afstand vanaf punt A, beiden in meters.

Bewijs dat de baan in de punten A en B inderdaad horizontaal loopt en bereken vervolgens de hoogte van punt C.

Tussen A en B wordt de baan eerst steiler naar beneden en daarna weer vlakker. Ergens tussen A en B ligt dus een punt waar de baan het steilst daalt. Bereken de coördinaten van dat punt.

Het zuurstofgehalte van de lucht is normaal gesproken gelijk aan 21%.
Maar als een grote groep mensen zich in een ruimte met onvoldoende ventilatie bevindt, dan zal dat zuurstofgehalte dalen.
Tijdens een erg lange vergadering van de ministerraad meet een conciërge regelmatig het zuurstofgehalte in de vergaderruimte. Op een gegeven moment vindt hij het onacceptabel laag geworden en doet hij een boel ramen open.
Dan stijgt het zuurstofniveau gelukkig weer, zodat onze ministers (voorzover ze daartoe in staat zijn) weer helder kunnen nadenken.....

De conciërge stelt na afloop met zijn meetgegevens twee modellen op; eentje voor het dalende zuurstofverloop (D) en eentje voor het stijgende (S). Zijn metingen leveren op dat ongeveer geldt:
D(t) = 21 - 4t²+ t³ en S(t) = 21 - 12,56 • 0,9^tDaarin is t de tijd in uren

Bepaal met je GR na hoeveel tijd de conciërge de ramen openzette.

t = 2,67

Hoe snel daalde het zuurstofniveau op t = 1?

5%/uur

Op welk moment steeg het zuurstofgehalte weer met 0,9 %/uur?

t = 3,66

De conciërge merkt na afloop dat er tussen t = 2 en het moment dat hij de ramen openzette toch wel erg domme beslissingen zijn genomen. Hij besluit daarom een soort alarmsysteem aan te leggen, dat waarschuwt als het zuurstofgehalte in de ruimte te laag wordt.
Hij kan daarvoor kiezen uit twee verschillende systemen:

• Systeem I waarschuwt als het zuurstofgehalte onder de 19,5% komt.
• Systeem II waarschuwt als het zuurstofgehalte daalt met meer dan 4% per uur

Laat zien dat beide systemen met bovenstaande functie D(t) ongeveer hetzelfde alarmmoment opleveren.