Asymptotische groei.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
De "echte" groeiformule van de vorm  y = B • gt  zul je in de praktijk niet zo vaak tegenkomen, vooral niet als g > 1.
Immers, dan zal de hoeveelheid y alsmaar groter en groter worden, en in praktijk komen dingen die oneindig groot (of heel heel groot) worden nou eenmaal niet voor.
Vaak is de vorm B • gt  slechts een deel van een grotere formule.
   
Voorbeeld 

Ik haal een bevroren brood van -4ºC uit mijn vriezer en laat het in de keuken, waar het 20ºC is,  liggen om te ontdooien.  Als ik een formule probeer op te stellen voor de temperatuur (T) van het brood als functie van de tijd (t) dan moet ik mij een paar dingen bedenken:
   
• In het begin stijgt de temperatuur van het brood snel, maar dat wordt steeds minder omdat de temperatuur van het brood steeds meer gelijk wordt aan de keukentemperatuur. Het verschil V tussen beide temperaturen wordt steeds kleiner.
• Uiteindelijk zal de broodtemperatuur gelijk gaan worden aan 20ºC, dus het verschil V tussen de temperaturen zal nul worden.
   
Ik neem als model dat het verschil tussen de broodtemperatuur en de keukentemperatuur exponentieel afneemt, laten we zeggen met groeifactor 0,9 per uur. In het begin is dat verschil gelijk aan 24ºC, dus de formule zal zijn:
 
V = 24 • 0,9t
 

Maar als ik een formule voor T zélf wil, dan moet ik bedenken dat  V = 20 - T
Daaruit volgt  T = 20 - V dus:

 
T =  20 - 24 • 0,9t
 

Dat geeft deze grafiek:
   

   
   
  OPGAVEN
   
1. Leerpsychologen zeggen dat het beter is om twee keer 1 kwartier ergens aan te leren dan één keer een half uur. In de formule hieronder is deze leerpsychologische wet terug te vinden.
       
 

E(t) = 100 – (100 – B)·0,7t
       
  Daarin is B het percentage van de stof dat je aan het begin al kent, en E het percentage dat je na t kwartier aan één stuk door leren kent (als je dus begint met B%)
       
  a. Leg uit welke asymptoot de grafiek van E heeft, en wat dit in praktijk voorstelt.
     

E = 100
  b. Karin wil de stof uiteindelijk voor 80% kennen. Ze berekent met de formule hierboven dat ze dan nog 58 minuten moet leren. Voor hoeveel procent kent ze de stof nu al? Geef een exacte berekening.
     

68,3%
  Helaas: als je stopt met leren ga je de stof ook langzaam weer vergeten. Daarvoor geldt het volgende verband:
       
 

E(t) = B · 0,98t
       
  E is het eindpercentage, B het beginpercentage en t de tijd in kwartieren.
       
  c. Jasper moet een hoeveelheid Engels leren. Hij kent er nog niets van. Hij gaat kiezen uit twee strategieën:
I:  Direct een half uur leren, daarna niets meer
II:  Een kwartier leren, een uur wachten en dan nog een kwartier leren.
Bereken met welk van beide strategieën hij drie uur nadat hij begint nog het meeste weet.
     

II:  43,73%
   
2. "Schat, ik ben over twee uur thuis, staat de borrel koud?" buldert de heer van Dijk over de telefoon tegen zijn lieftallige echtgenote.  Zij realiseert zich met schrik dat de borrel helemaal niet koud staat: de fles Bokma staat gewoon in de kamer op een temperatuur van 20ºC. Haastig zet ze de fles in de koelkast; hij drinkt zijn borrel graag op 6ºC. Ze kent de woede van haar echtgenoot...

Ze weet uit ervaring dat elke 10 minuten het temperatuurverschil V tussen de fles en de koelkast afneemt tot 80% van de waarde aan het begin van die 10 minuten (bijvoorbeeld: als de fles nu 20ºC is en de koelkast 5ºC, dan is het verschil 15ºC, en daarvan is over 10 minuten nog 0,8 • 15 = 12ºC van over, dus de fles zal dan 17ºC zijn).
       
  a. Maak de volgende tabel af:  
       
   
tijd (min) 0 10 20 30 40
T(ºC) 20 17      
V(ºC) 15 12      
       
  b. Bewijs dat V(t) een exponentiële functie is en geef een formule voor V(t)
     

V = 15 • 0,80,1t
  c. Geef een formule voor T(t), schets de grafiek ervan, en geef de vergelijking van eventuele asymptoten.
       
  d. Bereken wanneer de fles, als hij in de koelkast zou blijven staan, een temperatuur van 6 ºC zou hebben.
     

121 min.
       
3. Examenvraagstuk

In de visserijbiologie worden groeimodellen ontwikkeld die het verband aangeven tussen de leeftijd en het gewicht van een vissoort. Als voorbeeld van een groeimodel is hiernaast de grafiek getekend die het verband aangeeft tussen de leeftijd en het gewicht van de haring. Neem aan dat de kromme vanaf t = 0 beschreven kan worden door 
H(t) =  c - a • bt 
     
  a. Bepaal a, b en c
   

700, 0.756, 800
  Ook bij het kweken van vis gebruikt men modellen uit de visserijbiologie. In een grote kweekvijver worden 11000 eenjarige forellen uitgezet. Het aantal forellen neemt per dag  af met 0,03%. Hieruit is af te leiden dat het aantal in leven zijnde forellen kan worden beschreven met de formule:
       
 

N(t) = 11000 • e-0,11t
       
  Met t  in jaren vanaf het moment van uitzetten
       
  b. Geef deze afleiding
       
  Het verband tussen de leeftijd en het gewicht van een exemplaar van deze forelsoort wordt beschreven door de formule  F(t) = 0,600 - 0,535 • e-0,37t (t in jaren vanaf het moment van uitzetten).
Het gewicht in kilogrammen van alle forellen samen wordt dan gegeven door:  
       
 

G(t) = 6600 • e-0,11t - 5885 • e-0,48t
       
  c. Toon dit aan.  
       
  De eigenaar wil de  vijver helemaal leegvissen op het moment dat het gewicht van alle forellen samen maximaal is.
       
  d. Bereken hoeveel maanden na het uitzetten de vijver leeggevist moet worden
     

44 mnd.
       
4. De meeste voedingsstoffen worden al in de dunne darm aan het voedsel onttrokken.
Een dunne massa onverteerbare voedselresten (ongeveer 80% vocht) gaat vervolgens vanuit de dunne darm naar de dikke darm toe. In de dikke darm wordt er vocht onttrokken aan de voedselresten. Door die onttrekking dikt de massa in en ontstaat de normale ontlasting.

De hoeveelheid vocht die wordt onttrokken aan de voedselresten hangt af van de tijd die zij in de dikke darm doorbrengen. Elk uur in de dikke darm wordt er ongeveer 10% van het aanwezige vocht onttrokken.
       
  Als P het percentage vocht in de voedselresten is na t uur in de dikke darm, met een beginwaarde van 80% vocht, dan leidt dat tot de formule:
       
 

       
  a. Toon aan dat deze formule juist is.
       
  b. Gezonde ontlasting bestaat voor 30% uit vocht.
Bereken algebraïsch hoe lang zulke ontlasting in de dikke darm verblijft.
     

21,2 uur
       
5. In een flatgebouw valt op een gegeven moment de verwarming uit, terwijl het buiten 15 graden vriest. De temperatuur is op het moment van uitvallen (t = 0) gelijk aan 20ºC, maar daalt daarna snel. De volgende tabel geldt:
       
 
t in uren 0 1 2 3 4 5 6 7
T in ºC 20,0 9,5 2,2 -3,0 -6,6 -9,1 -10,9 -12,1
       
  a. Leg uit hoe je in één oogopslag kunt zien dat T(t) nooit een exponentiële functie kan zijn.
       
  b. Het blijkt dat het verschil tussen de temperatuur en de buitentemperatuur  wél een exponentiële functie is.
Geef een formule voor T(t)
       
6. examenopgave.

De kwaliteit van het water in zwembaden wordt onder anderen beoordeeld op grond van het ureumgehalte. Ureum komt in het water via zweet en urine. Metingen hebben aangetoond dat bij 1000 bezoekers per dag de hoeveelheid ureum in het water op die dag met 500 g toeneemt. Om te voorkomen dat er teveel ureum in het water komt moet er zó ververst worden dat de wettelijke norm van 2 g ureum per m3 water niet overschreden wordt.
In een model gaan we ervan uit dat dagelijks 1000 bezoekers een bad van 1000 m3 bezoeken en dat de verversing van het water 's nachts plaatsvindt. Voor verversing rekent men 30 liter per persoon per dag. Dat betekent in dit model dat 's nachts 30 m3 water ververst wordt (dus 3% van het totaal)
We beginnen de eerste dag met 0 g ureum in het water. Aan het eind van die dag zit er dus 500 g ureum in het water. Na het verversen is er dan aan het begin van de tweede dag 485 g ureum over.
       
  a. Laat zien dat er aan het begin van de derde dag ruim 955 g ureum in het water zit.
     

955,45
  b. In de loop van welke dag wordt de norm overschreden?  
     

n = 6
  Het blijkt dat 30 liter per bezoeker per dag verversen niet voldoende is. In plaats van 30 liter wordt daarom 200 liter genomen. Stel dat U de hoeveelheid ureum aan het begin van een dag is. 
       
  c. Toon aan dat de hoeveelheid ureum aan het begin van de volgende dag dan gelijk is aan  0,8 • U + 400.
       
  We starten in het model weer met 0 g ureum aan het begin van de eerste dag. De hoeveelheid ureum in gram, Un, aan het begin van de nde dag kan rechtstreeks berekend worden met de formule:
Un = 2000 - 2500 • 0,8n
       
  d. Leg uit met deze formule dat aan het begin van elke dag aan de wettelijke norm is voldaan.
       
  e. In de loop van een dag kan de wettelijke norm wél overschreden worden. Bereken op welke dag dat voor het eerst gebeurt.
     

n = 8
       
7. examenopgave HAVO Wiskunde B, 1996.
       
  Als we een fles melk uit de koelkast halen, zal de temperatuur van de melk langzaam oplopen van de temperatuur in de koelkast tot de temperatuur van de omgeving.

Bij een zekere instelling van de koelkasttemperatuur en een bepaalde omgevingstemperatuur geldt de volgende formule:

T = 19 - 13 • 0,78t

T is de temperatuur van de melk in graden Celsius, en t is de tijd in minuten die verstreken is nadat de melk uit de koelkast is gehaald.

       
  a. Teken de grafiek van T met asymptoot.
       
  b. Geef zowel de omgevingstemperatuur als de koelkasttemperatuur. Motiveer je antwoord.
     

19ºC en 6ºC
  c. Benader de snelheid van verwarming op het tijdstip t = 0 met behulp van een differentiequotiënt waarbij Δt = 0,01. Rond je antwoord af op één decimaal.
     

3,22 ºC/min
  We halen een fles melk uit de koelkast en tegelijkertijd zetten we een andere fles melk in de koelkast.
Voor de temperatuur van de melk in de fles die uit de koelkast gehaald is geldt de bovenstaande formule. Voor de temperatuur van de melk in de andere fles geldt de formule:  T = 6 + 13 • 0,78t 
       
  d. Bereken na hoeveel minuten de temperatuur in beide flessen dezelfde is geworden. Rond je antwoord af op één decimaal.
     

2,8 min.
  Voor producten die uit een andere koelkast worden gehaald, geldt bij gegeven koelkasttemperatuur en gegeven omgevingstemperatuur een formule van de volgende vorm:  T = 16 - 11 • gt
Het grondtal g is afhankelijk van het gekoelde artikel (voor flessen melk geldt g = 0,78).

Een blikje frisdrank op koelkasttemperatuur wordt uit die koelkast gehaald en heeft 15 minuten later een temperatuur van 14 graden.
       
  e. Bereken de waarde van g voor dat flesje frisdrank. Rond je antwoord af op twee decimalen.
     

0,89
   
8. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1993.

Onderstaande alinea's zijn vrij naar een artikel dat in 1991 in een krant stond.
       
 
FAO luidt noodklok.
  van onze verslaggever
1    AMSTERDAM - elk jaar verdwijnt steeds meer tropisch oerwoud. In 1990 was de afname wel anderhalf keer zo groot als in 1980. Dit stelt de FAO, de voedsel- en landbouworganisatie van de Verenigde Naties, in een zondag verschenen rapport met nieuwe gegevens over de ontbossing van de aarde.
....
2.    In 1990 verdween in de tropen zeventien miljoen hectare oerwoud. Dit is een gebied even groot als Oostenrijk, Denemarken en Nederland samen.
...
3.    Er was op 1 januari 1990 nog 2900 miljoen hectare tropisch oerwoud over.
....
4.    De FAO wijst naar de geïndustrialiseerde landen, waar de ontbossing een halt is toegeroepen. Tussen 1 januari 1980 en 1 januari 1985 is de bosoppervlakte in die landen met 5 procent toegenomen tot 2100 miljoen hectare
....
       
  Een lezer van dit artikel probeert de gegeven informatie in een wiskundig model te verwerken om daarmee te kijken wat de gevolgen zullen zijn als de afname van het tropisch oerwoud op dezelfde wijze blijft voortduren.
Hij noemt y(t) het oppervlak tropisch oerwoud  (in miljoenen hectare) dat op tijdstip t nog aanwezig is. Hij neemt t = 0 op 1 januari 1980 en hij neemt t in jaren.
       
  a. Leg uit waarom zowel een formule van de vorm y(t) = a • t + b  als een formule van de vorm y = agt  niet in overeenstemming is met de gegevens.
       
  De lezer kiest voor een formule y(t) = b - agt .
Uit de in de alinea's 1, 2 en 3 verstrekte informatie leidt hij waarden af voor b, a en g.
Hij vindt:  y(t) = 3311 - 274 • 1,0414t
       
  b. Laat zien dat deze formule wel in overeenstemming is met de in de alinea's 1, 2 en 3 gegeven informatie.
       
  Wanneer de ontbossing op dezelfde wijze blijft voortduren zal op een gegeven moment minder dan 1000 miljoen hectare tropisch oerwoud overgebleven zijn.
       
  c. Bereken in welk jaar dit volgens deze formule zal gebeuren.
     

2032
  In alinea 4 wordt vermeld dat de bosoppervlakte in de geïndustrialiseerde landen in de genoemde periode 1980-1985 met 5% is toegenomen. Neem aan dat deze groei tot het jaar 2000 op dezelfde manier doorgaat.
       
  d. Onderzoek of de bosoppervlakte in de geïndustrialiseerde landen op 1 januari 2000 al groter is dan de oppervlakte van het tropisch oerwoud, dat er dan volgens de formule van de lezer nog over is.
       
9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2002.

In 1977 troffen onderzoekers in Vaes een kleine groep ransuilen aan. Vanaf dat moment heeft men ze nauwgezet bestudeerd. Daaruit bleek onder andere dat de ransuilen vroeg in het voorjaar broeden en dat de jongen half juni al,kunnen vliegen. Uit tellingen die steeds eind juni plaatsvonden bleek dat de populatie in omvang toenam. In de volgende tabel staan enige resultaten.
       
 
Aantal ransuilen per eind juni
jaar 1977 1989
aantal 20 178
       
  Neem aan dat tussen eind juni 1977 en eind juni 1989 het aantal ransuilen jaarlijks met een vast percentage toenam.
       
  a. Bereken met hoeveel procent per jaar het aantal ransuilen in deze periode toenam.
     

19,98%
  Eind juni 1991 telde men 205 ransuilen. Dat is minder dan volgens de bovenstaande groei verwacht mocht worden. Dit zou verklaard kunnen worden door het feit dat door ransuilen gebruikte broedplaatsen (bestaande holtes in bomen en gebouwen) altijd slechts in beperkte mate aanwezig zijn. Daardoor konden sommige vrouwtjes dat jaar geen broedplaats vinden.

Aanvankelijk dacht een onderzoeker het aantal ransuilen vanaf 1989 goed te kunnen voorspellen met een model van de vorm: R(t) = a - b • 0,6t

Hierbij is R(t) het aantal ransuilen in jaar t en t het aantal jaren na eind juni 1989.

Hij koos a en b zo dat de formule 178 ransuilen opleverde voor 1989 (t = 0) en 205 ransuilen voor 1991 (t = 2). Zo vond hij voor a de waarde 220,2 en voor b de waarde 42,2.
       
  b. Bereken de waarden van a en b afgerond op twee decimalen.
     

220,19 en 42,19
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)