benadering ln(n)


	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een goede benadering van ln(n!)

ln(n!) = ln(n • (n - 1) • (n - 2) • .... • 1)
en dat kun je met de rekenregels voor logaritmen uit elkaar halen:

ln(n!) = ln(n) + ln(n - 1) + ln(n - 2) + ... + ln(1)

De som van al die termen is de oppervlakte van de gele rechthoeken hiernaast. (breedte 1, hoogte lnn).
Je ziet dat die oppervlakte voor grote n erg snel gelijk wordt aan de oppervlakte onder de grafiek van lnx. Aan de rechterkant scheelt het haast niets meer, en dan zijn we zelfs nog maar bij n = 14.

Daarom mag je de waarde van ln(n!) wel benaderen door de oppervlakte onder de grafiek van lnx van x = 1 tot en met x = n.

Dat geeft de volgende geweldig nauwkeurige benadering voor ln(n!):

ln(n!) ≈ nln(n) - n

In de volgende grafieken kun je zien hoe fantastisch die benadering is:

Voor een nog nauwkeuriger benadering moet je deze les over de formule van Stirling maar lezen,. Ik waarschuw maar vast: het is wel een pittig stukje wiskunde.