Het Binomium van Newton.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
We willen graag de haakjes wegwerken van  (a + b)6

Dat is natuurlijk  (a + b) • (a + b) • (a + b) • (a + b) • (a + b) • (a + b)

Laten we stap voor stap die haakjes gaan wegwerken, en kijken of ons iets te binnen schiet:

In het eerste geval bij (a + b)(a + b) vinden we als antwoord alle mogelijke combinaties van rood met blauw (4 stuks).
In het tweede geval bij (a + b)(a + b)(a + b) worden al die mogelijke rood-blauwe combinaties weer vermenigvuldigd met elke mogelijk groene letter. Dat geeft dus alle mogelijke groen-rood-blauw combinaties.
't Is alsof je langs de kleuren springt en van elke kleur er eentje (a of b) moet nemen.
Laten we dat ook met (a + b)6 een paar keer doen:
Dit zijn maar drie voorbeelden van in totaal 64 mogelijkheden (immers bij elke kleur zijn er twee mogelijkheden, dus in totaal 26 = 64)

Deze drie kunnen we natuurlijk korter schrijven als  a4b2  en  a3b3  en  ab5
Zo komt elke mogelijkheid voor:     a6  en  a5b  en  a4b2  en  a3b3  en  a2b4  en  ab5  en  b6 
De vraag is alleen:

Hoe váák komt elke mogelijkheid voor?

Nou, dat is een makkie! Dat weten we al!!
Neem de term  a2 b4 . Dat was eigenlijk een rijtje zoals  aabbbb.  Hoeveel zulke rijtjes zijn mogelijk?
Juist:  een anagram! 
Dat kan op  6 nCr 2 manieren en dat zijn er 15. Dus van de 64 mogelijkheden zijn er 15 gelijk aan a2b4 .
En zo zal  a3b3  dus  6 nCr 3 = 20 keer voorkomen.
Alles samen geeft dat:  (a + b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6
Daar komen alle combinaties tevoorschijn: de vet gedrukte getallen zijn precies die uit de driehoek van Pascal.
Als we dit systeem uitschrijven voor het algemene geval, dan vinden we:

Dit heet het binomium van Newton.
Het staat nog wetenschappelijker als je het zó noteert;

Hoe gaat het met (a - b)n ?
Nou precies hetzelfde, als je je maar realiseert dat  (a - b)n  precies hetzelfde is als (a + (-b))n
Je gebruikt dus het binomium van Newton met in plaats van b nu -b.

Bijvoorbeeld:  (x - y)4 =  1x4 +  4x3(-y)1 + 6x2(-y)2 + 4x(-y)3 + 1(-y)4  =  x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y4
   
Speciaal geval:   (1 + x)n  
   
Het binomium levert in dit geval:

   
Laten we voor de grap nu eens x = -1 invullen, dan vinden we:

Dat daar voor oneven n nul uitkomt is nogal logisch:  kijk maar naar  de driehoek van Pascal,:  die is symmetrisch, dus elk getal komt er een keer positief en een keer negatief in voor.
Maar voor even n is het toch wel een opmerkelijk resultaat!
Klopt echt, kijk maar naar de rijen uit de driehek van Pascal::
1 - 2 + 1 = 0
1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0
1 - 6 + 15 - 20 + 15 - 6 + 1 = 0
enz.

Verder zie je nu ook direct dat  00 = 1
   
   
   
  OPGAVEN
1. Herleid:
a. (p + 1)6
b. (3x + 2)5
c. (2a - 4)8
2. a. Als je van (a + b)8  de haakjes wegwerkt en alles vereenvoudigt, welk getal staat er dan bij a5b3 ?
   

  56 

b. Als je van (a + 2)10  de haakjes wegwerkt en alles vereenvoudigt, welk getal staat er dan bij a6 ?
   

 3360

c. Als je van (x - 3)7  de haakjes wegwerkt en alles vereenvoudigt, welk getal staat er dan bij x4 ?
     

 -945

3. a. Van welke macht is dit de uitwerking:    x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10xy4 + y5
   

(x + y)5
b. Van welke macht is dit de uitwerking:    a4 - 8a3 + 24a2 - 32a + 16
   

(a - 2)4
c. Bij welke herleiding komen in het antwoord  p5  én  160p3 voor?
   

(p + 4)5
4. a. Herleid met het binomium van Newton  (1 + 1)5
     
b. Toon aan dat uit dit antwoord volgt dat: 

       
5. Als je  (x + 1/x3)12  herleidt, dan vind je in die uitwerking een constante term.
Hoe groot is die constante term?
     

 220
       
6. Als je 1111  schrijft als (10 + 1)11  dan kun je daarmee ontdekken wat de eerste twee cijfers van het getal 1111 zijn.
Wat zijn die eerste twee cijfers? (Je mag uiteraard geen gebruik maken van je GR).
     

 28
7. Vlaamse Olympiade.

Toon aan dat voor elk oneven getal  x3 + 5x2 + 3x - 9  deelbaar is door 8.
       
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)