binomiaal variabele


Een onbekende n, p, k.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Ter herinnering eerst maar even de eigenschappen van het binomiale systeem:

BINOMIAAL:
• zonder terugleggen.
• twee mogelijkheden per keer.

aantal experimenten n
kans op succes per keer p
gevraagd k successen
P(k) = (n nCr k) • p^k • (1 - p)^{n -}^k

Eerst even een opmerking over die "twee mogelijkheden per keer". Soms moet je er zelf voor zorgen dat er twee mogelijkheden per keer zijn, door handig te kiezen wat "succes" is en wat "geen succes" is.

Neem bijvoorbeeld het probleem: Gooi 10 dobbelstenen, wat is de kans op 5 zessen?
De saaie wiskundige zal zeggen: "Er zijn elke keer geen 2 mogelijkheden, maar 6 want je kunt elke keer immers 1,2,3,4,5,6 gooien. Daarom werkt de binomiale verdeling niet"
De creatievere wiskundige zal zeggen: "Als ik nou zes gooien "succes" noem en niet-zes "geen-succes", dan zijn er wél twee mogelijkheden, namelijk zes en niet-zes. Dus kan ik de binomiale verdeling wél gebruiken, met n = 10, p = ¹/₆ en k = 5".

Dat maakt het aantal toepassingen van de binomiale verdeling al flink groter.

Maar we kunnen deze verdeling nog veel handiger gebruiken in problemen met een onbekende n of p of k.
Het motto is:

Je kunt ook een X gebruiken!

voorbeeld 1:
Gooi 50 keer met een gewone dobbelsteen. Op welk aantal zessen is de kans gelijk aan 0,084?
Dit is een binomiaal probleem (elke keer twee mogelijkheden, namelijk zes en niet-zes, de kansen elke keer gelijk (¹/₆))
n = 50, p = ¹/₆ maar k is onbekend.
Voer in je rekenmachine in Y1 = binompdf (50, ¹/₆, X)
Kijk nu bij TABLE bij welke X er 0,084 uitkomt.
Dat is bij X = 11, dus de kans op 11 zessen is ongeveer 0,084.

voorbeeld 2:
Hoe vaak moet je een zuiver muntstuk opgooien zodat de kans op 10 keer KOP gelijk is aan 0,061?
Dit is een binomiaal probleem (elke keer twee mogelijkheden, namelijk KOP en MUNT, de kansen elke keer gelijk (¹/₂))
n is onbekend, p = ¹/₂, k = 10
Voer in je rekenmachine in Y1 = binompdf ( X, ¹/₂, 10)
Kijk nu bij TABLE bij welke X er 0,061 uitkomt.
Dat is bij X = 14 dus je moet 14 keer gooien zodat de kans op 10 zessen gelijk is aan 0,061.

voorbeeld 3.
De kans dat ik met een valse dobbelsteen van de 60 keer gooien zoals verwacht 10 zessen gooi is gelijk aan 12%.
Hoe groot is de kans (in drie decimalen) op zes bij één keer gooien?
Dit is een binomiaal probleem (60 experimenten, elke keer twee mogelijkheden, namelijk 6 en niet-6, de kansen elke keer gelijk, maar onbekend, n = 60 , p = onbekend, k = 10)
Voer in je rekenmachine in Y1 = binompdf ( 60, X , 10) en Y2 = 0,12
Met intersect kun je de gezochte p = X vinden (window bijv. Xmin = 0, Xmax = 1, Ymin = 0, Ymax = 0,2)
Dat geeft p = 0,143 of p = 0,192.

OPGAVEN

Waarom kun je in voorbeeld 3 hierboven gebruik maken van INTERSECT van je rekenmachine en in de voorbeelden 1 en 2 niet?

Veel mensen denken dat bij de geboorte de kans op een jongen gelijk is aan de kans op een meisje. Toch blijkt dat in werkelijkheid niet zo te zijn. In het histogram hiernaast is dat te zien.
Het toont de werkelijke kansverdeling van het aantal jongens in een gezin van vier kinderen. De percentages staan boven de staven.

Hoe groot is de kans bij een geboorte op een jongen?

0,512

Sjeng Schalken is een tennisspeler. Ik weet niet precies hoeveel procent van zijn eerste services hij goed serveert, maar ik weet wel dat als hij 30 keer serveert dat dan de kans dat er dan 20 goed zijn gelijk is aan 15%.
Bereken het percentage van eerste services dat goed is. Geef je antwoord in procenten nauwkeurig

65%

Uit een onderzoek van het ministerie van Verkeer en Waterstaat blijkt dat 40% van de treinen in Nederland te laat komt. Dat betekent natuurlijk niet dat in elke steekproef die je zou nemen precies 40% van de treinen te laat komt. Dat zou wel heel toevallig zijn.
De NS houdt een steekproef onder een aantal treinen. De kans dat precies 40% van de treinen in de steekproef te laat zijn blijkt gelijk te zijn aan 7%, als we aannemen dat voor elke trein de kans dat hij te laat is 40% is.

Hoe groot was de steekproef van de NS?

135

Gooi 1000 keer met een munt.
We bekijken de kans dat het verschil tussen het aantal kop en het aantal munt gelijk is aan A.
Voor welke A is deze kans ongeveer 1,8%?

42 à 44

Hieronder staan drie histogrammen getekend.

Bij elk histogram is er een staaf met hoogte 0,2.
Bereken bij elk van deze histogrammen de kans die bij de hoogste staaf hoort.

0.43, 0.40, 0.30

Een frisdrankenfabrikant houdt een "doppenactie", waarbij er aan de onderkant van de dop van een aantal flesjes een stickertje zit dat recht geeft op een gratis flesje. De fabrikant zegt in de reclame dat bij 12% van de flesjes zo'n sticker onder de dop zit.

Hoe groot is dan de kans dat iemand die 5 flesjes koopt, er méér dan 5 krijgt?

0,4723

Hoe groot is de kans dat iemand die 5 flesjes koopt, er precies zes krijgt? Denk erom dat ook onder de dop van zo'n gratis flesje weer een sticker kan zitten!

0,3166

Een jongetje klaagt bij een winkelier dat hij nu al drie weken lang al zijn zakgeld aan frisdrankflesjes heeft uitgegeven, en nog steeds geen enkele sticker heeft gekregen. De winkelier zegt dat het jongetje pech heeft, want dat de kans daarop gelijk is aan 1%.

Hoeveel flesjes kan het jongetje van één week zakgeld kopen?

De vader van het jongetje belooft hem, om hem te troosten, dat ze samen naar de winkel zullen gaan en in één keer zoveel flesjes gaan kopen dat de kans op minstens één prijs gelijk is aan 99,9%

Hoeveel flesjes moet de vader dan gaan kopen?

De vader bedenkt daarna dat het handiger is om één voor één flesjes te kopen en te stoppen zodra er een prijs is.

Hoeveel flesjes zal de vader nu naar verwachting moeten kopen?

8,333

Een oplichter geeft mij een valse dobbelsteen. Hij beweert dat de kans dat je bij 20 keer gooien precies 6 zessen gooit gelijk is aan 15%. Neem aan dat percentage dat klopt.

Hoeveel procent groter is deze kans vergeleken met een zuivere dobbelsteen?

≈ 8,5%

Hoe groot is de kans om met deze valse dobbelsteen in een serie van 10 worpen precies 3 zessen te gooien?

≈ 0,236

Een andere oplichter vertelt mij dat hij een dobbelsteen heeft waarbij de kans dat je bij 20 keer gooien precies 6 zessen gooit nog groter is dan 15%.
Hoe groot kan die kans op precies 6 zessen maximaal zijn?

≈ 19,16%