kringintegraal Cauchy


	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De Kringintegraal van Cauchy.

In de vorige les maakte je kennis met een lijnintegraal. Dat was een integraal waar je de functiewaarden van een functie f(z) langs een bepaald route in het complexe vlak bij elkaar op moest tellen.
Als zo'n route het zelfde begin- en eindpunt heeft heet hij gesloten, en in zo'n geval spreken we ook wel van een kringintegraal, die we aangeven met het symbool:

Dat cirkeltje in het midden betekent dus dat de route een gesloten route is.
Nou bewees Cauchy een erg belangrijke stelling over zulke kringintegralen, maar daarvoor hebben we eerst de stelling van Green nodig.

Stelling van Green.

Neem een rechthoekig gebied R (met randen evenwijdig aan de assen) waarop we een functie willen integreren, en neem aan dat dat gebied door de vier rechte stukken C₁, C₂, C₃ en C₄ wordt begrensd. Zie de figuur hiernaast.

Neem verder aan dat P(x, y) en Q(x, y) twee reële functies zijn op dit gebied R.

We gaan nu eerst functie f integreren over het hele oppervlak (als je niet weet hoe dat moet, dan moet je eerst deze les over dubbelintegralen doornemen):

Bij die laatste integralen zijn de grenzen vervangen door C₁ en C₃. Bedenk daarbij dat die grenzen tegen de klok in doorlopen worden. (Dus C₁ van links naar rechts en C₃ van rechts naar links).
Ach, omdat de integralen langs de grenzen C₂ en C₄ toch nul zijn (immers daar is dx steeds nul) kunnen we die voor de mooiheid er ook wel bij zetten, en dat geeft de integraal over de hele grens C = C₁ + C₂ + C₃ + C₄:

Dat is best een interessant resultaat, want het legt een verband tussen de integraal over een oppervlak R en de integraal langs de grenzen C ervan!!!
Als je nu precies hetzelfde doet voor de integraal van ^∂^Q/_∂_x over die rechthoek R, dan geeft dat samen de volgende twee resultaten:

Samengenomen in één integraal geeft dat de stelling van Green:

Bedenk nog even goed dat dit geldt onder de voorwaarde dat dit gebied zo'n mooie nette rechthoek is, en ook dat de functies ^∂^Q/_∂_x en ^∂^P/_∂_y zich ook "netjes gedragen" op de randen van die rechthoek. Als die bijvoorbeeld niet continu zouden zijn, maar rare sprongen zouden maken, dan mochten we die aparte integralen hierboven niet primitiveren en dan de grenzen invullen.

Andere gebieden.

Als het gebied niet een mooie nette rechthoek is, maar een andere vorm heeft, dan geldt de stelling van Green toch meestal nog steeds.

Bij een andere vorm denk je dat gebied gewoon opgebouwd uit allemaal oneindig dunne rechthoekjes. Zie de figuur hiernaast.
Op elk van die rechthoekjes weten we al dat de stelling geldt.
Tel nu al die "stellingen van Green" bij elkaar op. Dat wil zeggen: schrijf voor elk rechthoekje de linkerkant van de vergelijking op (dus de integraal langs de rand tegen de klok in) , en ook de rechterkant (de integraal over het oppervlak)en tel dan die allemaal op.

Maar dan vallen alle bijdragen van de kanten waar ze langs elkaar liggen tegen elkaar weg, immers die worden allemaal twee keer doorlopen, en in tegengestelde richtingen.
Dat betekent dat alleen de rode randjes hiernaast overblijven, en die geven samen de integraal langs de omtrek C (tenminste bij genoeg rechthoekjes natuurlijk, dan gaat die rode rand steeds meer op die omtrek lijken).

Kortom de stelling van Green geldt ook voor niet-rechthoekige gebieden, zolang die gebieden niet al te "raar" zijn (er moeten bijvoorbeeld geen gaten in zitten, want dan gaat het verhaal hierboven niet op).

Maar wat stáát hier nou eigenlijk?

Weet je nog dat je bij de oppervlakte onder grafieken leerde dat je die kon berekenen door de primitieven F(b) - F(a) te berekenen? Nou, dit is net zoiets, maar dan tweedimensionaal:

In het ééndimensionale geval links zegt de functie f(x) eigenlijk hoe snel de oppervlakte F op die plaats x varieert.
De formule geeft een verband tussen wat de oppervlakte is tussen de randpunten a en b en hoe de oppervlakte varieert op gebied (lijnstuk) ab.

In het tweedimensionale geval rechts gebeurt dat eigenlijk ook. Het gaat dan om de inhoud van al die staafjes.
De Stelling van Green geeft een verband tussen wat de inhoud ingesloten door rand C is, en hoe de inhoud varieert (in twee richtingen deze keer) over het hele vlakdeel R.

Terug naar de Cauchy-Kringintegraal.

Een complexe functie f(z) kun je beschouwen als f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
Dan is de kringintegraal:

Neem in de stelling van Green voor P dan u en voor Q dan -v. dan staat er

Maar als we nou eisen dat de functie f(z) analytisch is, dan zeggen de Cauchy-Riemann vergelijkingen (uit deze les) dat
-^∂^v/_∂_x - ^∂^u/_∂_y = 0 dus die eerste integraal uit die kringintegraal van f(z) hierboven wordt nul.
Op precies dezelfde manier wordt, als je stelt P = v en Q = u , die tweede integraal ook nul.
Samen geeft dat de kringintegraal van Cauchy:

Een prachtig eenvoudig resultaat. Denk nog wel even aan de voorwaarden:

•

f moet overal differentieerbaar zijn en de afgeleide moet overal continu zijn (zo'n functie noemen we glad ("smooth"))

•

Het gebied dat door C omsloten wordt mag geen gaten vertonen, en C mag zichzelf niet snijden.

Direct gevolg: Hieruit volgt direct dat een lijnintegraal in het complexe vlak onafhankelijk is van de gekozen route (zolang f maar overal bestaat op die route). Stel dat je de lijnintegraal van A naar B via een bepaalde route C₁ hebt uitgerekend.
Bekijk dan een andere route C₂. Als je die route C₂ in omgekeerde volgorde doorloopt komt er het tegengestelde van de "gewone" volgorde uit. Maar (C₁) plus (C₂ in omgekeerde volgorde) is samen nul (Cauchy). Dus moet C₂ wel hetzelfde als C₁ opleveren. (Nog steeds aangenomen dat het gebied dat door C₁ en C₂ omsloten wordt voldoet aan de beide voorwaarden hierboven).

Tenslotte:
• intussen is bewezen (in 1903 door Goursat) dat de aanname dat f ' continu is niet nodig is.
• het omgekeerde geldt ook: ALS de kringintegraal nul is, DAN is de functie analytisch.

Hoogste tijd voor een voorbeeld, vind je niet?
- los van de voorbeelden uit de vorige les waar we deze stelling natuurlijk ook al gebruikten-

Voorbeeld

Bereken de integraal van ¹/_{(z + 1)} langs de route C hiernaast.

Dat is lastig berekenen, het is makkelijker langs de twee rechte stukken van i naar 0 en van 0 naar 1.

Van 0 naar 1:
z = a en dz = da en a loopt van 0 naar 1.

Van i naar 0:
z = bi dus dz = idb en b loopt van 1 naar 0

Deze twee integralen geven samen ¹/₂ln2 - ¹/₄πi
Samen met de gezochte integraal moet dat nul opleveren, dus de gezochte integraal is -¹/₂ln2 + ¹/₄πi

Oké, ik kan het niet laten: Kunnen we die integraal ook gewoon toch via de rode route uitrekenen om te kijken of het inderdaad klopt? Gewoon uit nieuwsgierigheid??
Langs de rode route geldt z = e^iφ waarbij φ van 0 tot ¹/₂π loopt.
Dan is dz = ie^iφ dφ

= ln(√2eⁱ^{• 0,25π}) - ln2 (overschakelen op poolcoördinaten natuurlijk!)
= ln√2 + i • ¹/₄π - ln2 (want lnab = lna + lnb)
= ln(^√2/₂) + ¹/₄πi
= -ln√2 + ¹/₄πi
= -¹/₂ln2 + ¹/₄πi

Mooi toch?


OPGAVEN

1.	Neem de functie f(z) = z² Laat zien dat de integraal van f(z) over de rand van de halve cirkel hiernaast inderdaad gelijk is aan nul.